山西省吕梁市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

山西省吕梁市2021届新高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若x，y满足约束条件
10
30
20
x y
x y
x
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则22
x y+的最大值是（）
A．9 2
B．
32
2
C．13 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：22
x y+表示可行域内的点(,)
x y到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由10
20
x y
x
+-=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
3
2
y
x
=
⎧
⎨
=-
⎩
即()
2,3
A-
点()
2,3
A-到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222
()(2)313
max
x y
+=-+=．
故选：C．
【点睛】
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
2．已知
1
sin
243
απ
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，则sinα的值等于（）
A．
7
9
-B．
2
9
-C．2
9
D．
7
9
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦公式的二倍角可得，27
cos()12sin 2249
π
απα⎛⎫+
=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7
sin 9
α=-
【详解】 ∵1sin 243
απ⎛⎫+=
⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有
27
cos()12sin 2249
παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭
又∵cos()sin 2
π
αα+
=-
∴7sin 9
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题
3．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）
的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）
A ．22
1205x y -=
B ．22
125100
x y -=
C ．22
1520
x y -=
D ．22
1525
x y -=
【答案】C 【解析】 【分析】
由题得c
a =
b ==222+=a b
c ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】
由题得c
e a
=
= ①
又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为
所以
222
5b c a b ==-+ ②
又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，
所以双曲线的标准方程为22
1520
x y -=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.
4．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )
A ．2?
B ．
10
C ．10?
D ．22
【答案】B 【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为1
3k '=-，即
13b a =，所以21()b e a
=+=10
3
，选B. 5．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）
A ．
6481
B ．
3227
C ．
89
D ．
1627
【答案】B 【解析】 【分析】
根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】
输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得：
第1次循环：2
3x =，24i =<，不满足判断条件； 第2次循环：8
9x =，34i =<，不满足判断条件；
第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果32
27
x =
. 故选：B 【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础. 6．已知函数
()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设1
2a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()3b f =，
()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）
A ．b a c <<
B ．c b d <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【答案】A 【解析】 【分析】 根据
()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且
()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.
【详解】
()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称
()f x ∴图象关于1x =对称
()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增
又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫
∴-<-< ⎪⎝⎭
，即b a c <<
本题正确选项：A
本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.
7．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题
【答案】B 【解析】 【分析】
由2x
y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】
由函数2x
y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得1
2
x =-，无解，
因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；
p q ∨为真命题，B 正确；
p q ∧为假命题，C 错误；
()p q ∧⌝为真命题，D 错误．
故选：B 【点睛】
本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
8．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且
212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方
程为( )
A ．1
3y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】C 【解析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中222
24cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 9．函数()1ln
1x
f x x
-=+的大致图像为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln
1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12
x =时，1
()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.
10．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r
，
记||c r 的最小值为m ，则当a r
变化时，m 的最大值为（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r
.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨
迹方程.将c a b λμ=+r r r
变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质
可知||c r
的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】
根据题意,||2,b =r
设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r
则2
b OE =r u u u r
由1a b +=r r
1=
即P 点的轨迹方程为()
2
22
1x y ++=
又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
r
r r ,即2OC OP OE λμ=+uuu
r uuu r uuu r ,且21λμ+=
所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:
所以||c r
的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=
由切线性质及点M 2
211
k k k --=+,化简可得281k =
即24
k =±
220y -=220x y += 所以当a r
变化时, O 到直线PE 的最大值为()2
224
13214m -
=
=
⎛⎫+± ⎪⎝⎭
即m 的最大值为13
故选:B 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
11．已知函数()233
1
x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得
()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦U C ．179,42⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ D ．4179,
,2⎛
⎤⎡⎫
-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
U
将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数
()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即
可求得m 的取值范围. 【详解】
依题意()()2
2211
3311
x x x x x f x x x ++++++==
++ 1
21
x x =+
++， 则()()
2
1
11f x x '=-
+，
当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,
24f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,
1,124m m ⎡⎤
⊆-+⎢⎥⎣⎦
， 故712
21
14m m ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩
，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选：C. 【点睛】
本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 12．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84
B ．54
C ．42
D ．18
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【详解】
根据题意，分两种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为
123323
2
2
18C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.
语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节
英语课也不加以区分，此时，排法种数为1424
2
2
24C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数()()211log 2,1
2,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩
，则()()22log 3f f -+=______.
【答案】9
2
【解析】 【分析】
由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案. 【详解】
因为函数()()211log 2,1
2,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩
，则()()221log 24l 3221og f ==⎡+--⎤⎣⎦+-= 因为22log 3log 21>=，则()2
23
log log 31
2
22
2
3g 2
lo 3f -==
=
故()()2392log 3322
f f -+=+
= 故答案为：92
【点睛】
本题考查分段函数求值，属于简单题.
14．已知双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，
1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的离心率为_________.
【解析】 【分析】
由已知可得212=b AF AB a =，结合双曲线的定义可知2
122b AF AF a a
-==，结合222c a b =+ ，从而
可求出离心率. 【详解】
解：1
22,//FO F O OD F B =Q ,1DF DB ∴=，又1AD BF ⊥Q ，则122AF AB AF ==. 2
2b AF a
=Q ，212=b AF AB a ∴=，2122b AF AF a a ∴-==，即22222b a c a ==-
解得c =，即e =
故答案为: 【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出2
2b AF a
=.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.
15．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”). 【答案】＞ 【解析】 【分析】
注意到1,0a b ><，故只需比较
11
a b
+与1的大小即可.
由已知，1,0a b ><，故有0,ab a b <>.又由0.20.20.211
log 0.3log 2log 0.61a b
+=+=<， 故有a b ab +>. 故答案为：＞. 【点睛】
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 16
．(1n +
展开式中的系数的和大于8而小于32，则n =______．
【答案】4 【解析】 【分析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果. 【详解】 观察式子可知
018232n
n n n n C C C <++⋅⋅⋅=<Q ，4n ∴=，
故答案为：4. 【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直线l
的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||AP PB +的值.
【答案】（1
）10x -=；22
(2)4x y -+=（2
【解析】 【分析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，
可得12t t +=123t t =-，而根据直线参数方程的几何意义，知
12||||PA PB t t +=-=
，代入即可解决.
（1）直线l的参数方程为
3
1
1
2
x t y t
⎧
=
+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），
消去t；得310
x y
--=
曲线C的极坐标方程为4cos
ρθ
=.
由cos
xρθ
=，sin
yρθ
=，222
x yρ
+=，
可得224
x y x
+=，即曲线C的直角坐标方程为22
(2)4
x y
-+=；
（2）将直线l的参数方程
3
1
2
1
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数）代入C的方程22
(2)4
x y
-+=，
可得2330
t t
--=，>0
∆，
设1t，2t是点,A B对应的参数值，
12
3
t t+=，123
t t=-，则()2
121212
||||415
PA PB t t t t t t
+=-=+-=.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题. 18．在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是边长为2的菱形，120,2,,
BAD PA PB PC PD E
∠=︒===
是PB的中点.
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）设F是直线BC上的动点，当点E到平面PAF距离最大时，求面PAF与面EAC所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
27
7
【解析】
（1）取BC 中点M ，连接,PM AM ，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，结合垂线段的性质可以确定点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1.
以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】
（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒. 所以AM BC ⊥，
因为PB PC =，所以PM BC ⊥， 又AM PM M =I ，
所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA BC ⊥. 同理可证PA DC ⊥， 因为DC BC C =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .
（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，
所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =. 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.
过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B
所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r
平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r
， 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v r
u u u v r
即0,0,y y z +=+=⎪⎩ 取1y =
，则(1)n =-r
，
21cos ,7
||||
n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r r
u u u r r ，
所以2
27sin ,1cos ,n AB n AB <>=-<>=u u u r u u u r r r ，
所以面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值为27
. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.
19．如图所示的几何体中，ADEF ABCD ⊥面底面，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，
//AB CD ，2
BAD π
∠=
，24AB AD CD ===，G 为BF 中点.
（1）证明：//CG ADEF 面； （2）求二面角A BF C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）1
3
【解析】 【分析】
(1)取AF 的中点H ，结合三角形中位线和长度关系，CDHG 为平行四边形，进而得到//CG HD ，根据线面平行判定定理可证得结论；
(2)以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值； 【详解】
（1）取AF 的中点H ，连结GH ，HD 因为G 为BF 中点，//AB CD ，2AB CD =，
所以//GH CD ，GH CD =，∴CDHG 为平行四边形， 所以//CG HD ，
又因为HD ADEF ⊂面，CG ADEF ⊄面 所以//CG ADEF 面；
（2）由题及（1）易知AB ，AD ，AF 两两垂直，
所以以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,
则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0D ，()0,0,4F ，()2,4,0C ，()4,0,4BF =-u u u r ，()2,4,4FC =-u u u r
易知面ABF 的法向量为()10,1,0n u r
= 设面ABF 的法向量为()2,,n x y z =u u r
则224402440n BF x z n FC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 可得2
11,,12n ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
r
所以12112
cos ,3
1124
n n =
=⨯+
r r
, 如图可知二面角A BF C --为锐角，所以余弦值为
13
【点睛】
本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足
129
4
PF PF ⋅=u u u r u u u u r
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设()12(,0),,0F c F c -，则212
99144
PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线1l 的方程为3(1)2
y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为1
2，
设其方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于
1x =对称，可求得1211
,22
l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由
此可得答案． 【详解】
解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则2
12
99144PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ， 21,2,3c a b ∴===，
所以椭圆方程为22
143
x y +=；
（2）设直线1l 的方程为3
(1)2
y k x -
=-， 与22143
x y +=联立得222(34)4(32)(32)120k x k k x k ++-+--=，
∴1
0,2
k ∆==-
， 因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l 斜率为12
， 设直线的方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =
+， 联立整理得2222
121230,0,4,,3x tx t t x x t x x t ++-=∆><+=-=-，
121212121233
(2)()(23)22011(1)(1)PM PN
y y x x t x x t k k x x x x -
-+-+--∴+=
+==----， 所以,PM PN 关于1x =对称， 由正弦定理得
,sin sin sin sin PM MK PN NK
PKM MPK PKN NPK
==∠∠∠∠，
因为,180MPK NPK PKM PKN ︒
∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM ⋅=⋅，
由上得1211,22
l l k k =-=
，
假设存在直线2l 满足题意，
设,PM PN k k k k =-=，11,,,22
k k --按某种排列成等比数列，设公比为q ，则1q =-， 所以1
2
k =
，则此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符， 所以不存在满足题意的直线2l ． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题． 21．已知函数1
()(1)ln f x ax a x x
=-+-
，a R ∈． （1）当1a ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，当[1,2]x ∈时，函数23412
()()F x f x x x x
=+
+-，求函数()F x 的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）()F x 的最小值为7
(2)2ln 22
F =- 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
2222
11(1)1(1)(1)()(0)a ax a x x ax f x a x x x x x +-++--'=-+==>，
当0a ≤时，10ax -<，令()0f x '<，可得1x >；令()0f x '>，可得01x <<， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当01a <<时，令()0f x '<，可得1
1x a <<
；令()0f x '>，可得01x <<或1x a
>， 所以函数()f x 在(0,1)，1
(,)a
+∞上单调递增，在1
(1,)a
上单调递减； 当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．
综上，当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(0,1)，
1(,)a +∞上单调递增，在1
(1,)a
上单调递减；当1a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）方法一：当1a =时，2323412312
()()2ln F x f x x x x x x x x x
=+
+-=-++-，[1,2]x ∈， 设()2ln g x x x =-，[1,2]x ∈，则22
()10x g x x x
-'=-
=≤， 所以函数()g x 在[1,2]上单调递减，所以()(2)22ln 2g x g ≥=-，当且仅当2x =时取等号．当[1,2]x ∈时，
设
1t x
=，则1[,1]2t ∈，所以2323312
32t t t x x x +-=+-，
设23()32h t t t t =+-，1[,1]2
t ∈，则2
2119()3266()66h t t t t '=+-=--+，
所以函数()h t '在1[,1]2
上单调递减，且15
()022h '=>，(1)10h '=-<，
所以存在01(,1)2t ∈，使得0()0h t '=，所以当012t t ≤<时，()0h t '>；当01t t <≤时，()0h t '
<，
所以函数()h t 在01
(,)2
t 上单调递增，在0(,1)t 上单调递减，
因为13()22h =，(1)2h =，所以13()()22h t h ≥=，所以233123
2
x x x +-≥，当且仅当2x =时取等号．所以当2
x =时，函数()F x 取得最小值，且min 37
()22ln 22ln 222
F x =-+=-， 故函数()F x 的最小值为7
2ln 22
-．
方法二：当1a =时，2323412312
()()2ln F x f x x x x x x x x x
=+
+-=-++-，[1,2]x ∈， 则322344
2326(1)(46)
()1x x x x F x x x x x x ----'=---+=，
令32()46g x x x x =---，[1,2]x ∈，则2
2113()3243()33
g x x x x '=--=--，
所以函数()g x '在[1,2]上单调递增，
又(1)3,(2)4g g ''=-=，所以存在0(1,2)x ∈，使得00()g x '=， 所以函数()g x 在0[1,)x 上单调递减，在0[,2]x 上单调递增，
因为(1)100,(2)100g g =-<=-<，所以当[1,2]x ∈时，()0<g x 恒成立， 所以当[1,2]x ∈时，()0F x '
≤恒成立，所以函数()F x 在[1,2]上单调递减， 所以函数()F x 的最小值为233127
(2)22ln 22ln 22222
F =-+
+-=-． 22．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．
（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=λ（是不为零的常数）
，求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意
1
1
2,*,
n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立． 【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】
【分析】
(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.
(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()
112
n n n S λ--=
化简即可知()1332n n b n b d --=
≥,再证明213
2
b b d -=也成立即可.
(3)由(2) 当2n ≥时,11()n n
n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11
n n k a a k
-+=
,即数列{}n a 是等比数列.继而求得2
1n n k a k -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
,再根据作商法证明1
1
n n n n b b a a ++>即可. 【详解】
()1解：22,3,d c Q ＝＝
21n c n ∴＝﹣．
{}n a Q 是各项不为零的常数列,
12,n a a a ∴⋯＝＝＝
则1n S na ＝,
则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,
及21,n c n
＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,
两式作差,可得43n b n
＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,
则43n b n
＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+Q ＝,
当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,
两式相减得：11
,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．
即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．
又()
112n n n S λ--=,
()12n n n n d nc nb λλλ-∴
+=, 即12
n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122
n n n d c b ---+=, 两式相减得：()1332
n n b n b d --=≥． ∴数列{}n b 从第二项起是公差为32
d 的等差数列． 又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,
当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=
+=++=+,得2132
b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列； ()3证明：由()2,当2n ≥时,
()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n n
n S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +Q ＝,
n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝,
1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1
n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,
当3n ≥时,()11
1,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k
-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列, ∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．
()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．
另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝,
又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,
21a ∴＝,
因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
． 令n n n
b d a =, 则()()()()()
11111111101n n n n n n n k k n k d b a n d a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,n n N ≥∈11
n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.
23．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C
的参数方程是12x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，常数5a <），曲线2C 的极坐标方程是2sin 4sin ρθθρ+=.
（1）写出1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（2）若直线l 与曲线1C ，2C 均相切且相切于同一点P ，求直线l 的极坐标方程.
【答案】（1）()()22125x y a -+-=-，2sin 4sin ρθθρ+=，1C 表示以()12，
为半径的圆；2C 为抛物线；（2）sin cos 10ρθρθ-+=
【解析】
【分析】
（1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程，利用sin x ρθ=，cos y ρθ=即得2C 的直角坐标方程； （2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解.
【详解】
（1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程为：
()221(2)5x y a -+-=-.
2C 的极坐标方程2sin 4sin ρθθρ+=.
222sin 4sin ρθθρ⇒+=
∵sin x ρθ=，cos y ρθ=
24x y ⇒=.
当5a <时1C 表示以()1
2，
2C 为抛物线. （2）设切点为2004x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，24x y = 由于'2x y =，则切线斜率为02
x ， 由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直， 故有2000124121x x x -
⨯=--
()022,1x P ⇒=⇒，
直线l 的直角坐标方程为1y x =-，
所以l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=.
【点睛】
本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。