多元函数泰勒公式

余项.
由二元函数的泰勒公式知, Rn 的绝对值在 点( x0 , y0 )的某一邻域内都不超过某一正常数 M .
于是,有下面的误差估计式:
Rn
nM 1!h
k n1
n
M
1!
n1
cos
sin
n1
n
2
n1
1!
M
, n1
其中 h2 k 2 .
(3)
由(3)式可知,误差 Rn 是当 0 时比 n 高阶
由 (t )的定义及多元复合函数的求导法则,可得
(t ) hf x ( x0 ht, y0 kt ) kf y ( x0 ht, y0 kt )
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt ),
(t ) h2 f xx ( x0 ht, y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht, y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht, y0 kt )
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
f y ( x0 x, y0 3y) f y ( x0 , y0 3y) y
f yx ( x0 4x, y0 3y)yx, 0 3 ,4 1
f xy ( x0 1x, y0 2y) f yx ( x0 4x, y0 3y)
n!
(n 1)!
将 (0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h, y0 k) 及 上面求得的(t)直到n阶导数在t 0的值,以及 (n1) (t )在t 的值代入上式.即得
f ( x0
h, y0
k)
f
(
x0
,
y0
)
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
1 2!
0 1.
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(t ) C h k xy p (n1)
n1
p
p n1 p
n1 p0
n1 p n1 p ( x0 ht , y0 kt )
h x
k
y
n1
f
( x0
ht,
y0
kt ).
利用一元函数的麦克劳林公式，得
(1) (0) (0) 1 (0) 2!
1 (n) (0) 1 (n1) ( ), (0 1).
x) ( x0 ) ( x0
( x0 x)
0
1x)x
1
1
fx ( x0 1x, y0 y) fx ( x0 1x, y0 )x
fxy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( x y)2,
x x
y
3
y
f
(0,0)
x3
f xxx (0,0)
3x2
yf xxy (0,0)
3 xy2 f xyy (0,0) y3 f yyy (0,0) 2( x y)3 ,
又 f (0,0) 0,故
ln(1
x
y)
x
y
1(x 2
y)2
1(x 3
y)3
R3 ,
其中
R3
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
1 h n! x
k
n
y
f
( x0 ,
y0 )
Rn ,
(1)
其中
n1
Rn
(n
1 1)!
h x
k
y
f ( x0 h, y0 k),
(0 1).
(2)
证毕
公式(1) 称为二元函数 f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的 n阶泰勒公式,而Rn 的表达式(2) 称为拉格朗日型
y2 )
1 (3x2 y 3!
3 xy 2
2 y3 )
R3 .
其中
R3
ex 24
三、e x y 1 ( x y) 1 ( x2 2 xy y2 )
2!
1 (xn n!
C
1 n
x
n1
y
yn )
Rn
其中
Rn
e ( x y) ( x n1 (n 1)!
Cn11 x n
y
yn1 ),
定理7. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续,则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
证 令 F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 )
f ( x0 ,
( x0
y0
y) f ( x0 , y0 )(x0 )
为此邻域内任一点,则有
f ( x0 h, y0 h)
f
(
x0x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
2
n
1 h k 2! x y
f
(
x0
,
y0
)
1 n!
h
x
k
y
f ( x0 , y0 )
(n
1 1)!
h
x
k
y
n1
f
(
x0
h,
y0
k ),
(0 1)
其中记号
二、求函数 f ( x, y) e x ln(1 y)的三阶泰勒公式． 三、求函数 f ( x, y) e x y 的 n 阶泰勒公式．
练习题答案
一、f ( x, y) 5 2( x 1)2 ( x 1)( y 2) ( y 2)2．
二、e x ln(1 y)
y
1 (2xy 2!
误差是当x x0 时比( x x0 )n 高阶的无穷小．
二、中值定理和泰勒公式
定理 8 设z f ( x, y)在凸域 D R2 上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P(a,b),
Q(a h,b k) int D, s.t f (a h, b h) f ( x0 , y0 ) fx (a h, b k)h f y (a h,b k)k, (0 1) 证 引入函数 (t) f (a ht,b kt), (0 t 1).
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
x2 f xx (0,0) 2 xyfxy (0,0) y2 f yy (0,0)
二、问题的提出
一元函数的泰勒公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
f
(n1) x0 ( x
(n 1)!
x0
)( x
x0
)n1
(0 1).
意义：可用n次多项式来近似表达函数 f ( x) ，且
h
k
m
x y
f ( x0 , y0 )表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
m p m p ( x0 , y0 )
证 引入函数
(t) f ( x0 ht, y0 kt), (0 t 1). 显然 (0) f ( x0 , y0 ),
(1) f ( x0 h, y0 k).
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
1 4!
x x
y
4
y
f
(x,y)
1 ( x y)4 ,
4 (1 x y)4
(0 1).
四、小结
1、二元函数的泰勒公式； 2、二元函数的拉格朗日中值公式；
3、 n 阶麦克劳林公式；
练习题
一、求函数 f ( x, y) 2x2 xy y2 6x 3 y 5 在 点 (1,2)的泰勒公式．
由 fx y ( x, y), f y x ( x, y) 的连续性，当 x 0, y 0
时有
fx y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
克劳林公式.
解
fx(x, y)
fy(x, y) 1
1 x
, y
1
fxx ( x, y)
fxy ( x, y)
f yy ( x, y) (1
x
, y)2
3 f
2! ,
显然 (t) C[0, 1], 在(0, 1) 内可微 ,由中值定理
f (a h,b k) f (h, k) (1) (0) ( ). fx (a h, b k)h f y (a h, b k )k,
(0 1).
定理 9 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内连 续且有直到n 1阶的连续偏导数, ( x0 h, y0 h)
的无穷小.
当n 0时,公式(1) 成为
f ( x0 h, y0 k )
f ( x0 , y0 ) hf x ( x0 h, y0 k ) kf y ( x0 h, y0 k )
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.
推论 如果函数 f ( x, y)的偏导数 f x ( x, y) , f y ( x, y) 在某一邻域内都恒等于零,则函数 f ( x, y) 在该区域