第三章：火箭的运动方程

速度坐标系到地面坐标系的方向余弦阵可查附录A，则 气动力在地面坐标系的分量为
⎡ Rx ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ Ry ⎥ = GV ⎢R ⎥ ⎣ z⎦
⎡− X ⎤ ⎢Y ⎥ = G V ⎢ ⎥ ⎢Z ⎥ ⎣ ⎦
⎡ −C x qS M ⎤ ⎢ α ⎥ ⎢C y qS M α ⎥ ⎢ α ⎥ ⎢ −C y qS M β ⎥ ⎣ ⎦
Pe = P − X1c
（称为有效推
（3.27）
a13 ⎤ ⎡ x + Rox ⎤ ⎡ b11 b12 a23 ⎥ ⎢ y + Roy ⎥ − m ⎢ b21 b22 ⎥⎢ ⎥ ⎢ a33 ⎥ ⎢ z + Roz ⎥ ⎢ b31 b32 ⎦⎣ ⎦ ⎣ b13 ⎤ ⎡ x ⎤ b23 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎥⎢ ⎥ b33 ⎥ ⎢ z ⎥ ⎦⎣ ⎦
并注意到式（3.16），则式（3.23）可写为
⎡ akx ⎤ ⎡ b11 b12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ aky ⎥ = ⎢b21 b22 ⎢ a ⎥ ⎢b31 b32 ⎣ kz ⎦ ⎣ b13 ⎤ ⎡ x ⎤ b23 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎥⎢ ⎥ b33 ⎥ ⎢ z ⎥ ⎦⎣ ⎦
（3.24）
（3.25）
其中
3.2.2 绕质心转动动力学方程在箭体坐标系的分 解
将式（3.4）
dωT I⋅ + ωT × (I ⋅ ωT ) = Mst + Mc + Md + M′ + M′ rel k dt
的各项在箭体坐标系内进行分解。
由于箭体坐标系为中心惯量主轴坐标系，因此惯量张 量式可简化为
⎡ I x1 ⎢0 I=⎢ ⎢0 ⎣
d r m 2 = P + R + FC + mg + Fk′ dt
2
（3.2）
3.1.2 绕质心转动的动力学方程
由变质量质点系的绕质心运动方程式（1.71）：
dωT I⋅ + ωT × (I ⋅ ωT ) = Mc⋅m + M′ + M′ k rel dt
M c⋅m = M st + M c + M d
ωT = [ωTx1 ωTy1 ωTz1 ]
ρ e为质心到喷口中心点距离，即
T
ρe = − x x
0 1e 1
因此可得
Fk′ 在箭体坐标系的三分量：
′ ⎡ Fkx1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ⎢ Fky1 ⎥ = 2mx1e ⎢ωTz1 ⎥ ⎢F′ ⎥ ⎢ −ωTy1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ kz1 ⎦
ω
d r δ r δr m 2 = m 2 + 2 mω e × + m ω e × (ω e × r ) dt δt δt
2 2
将其代入式（3－1－2）并整理得：
δ r δr m 2 = P + R + Fc + mg + Fk′ − mω e × (ω e × r ) − 2mω e × δt δt
转动时引起阻尼力矩。
（3.3）
为作用在火箭上的气动力矩；为控制力矩；为火箭相对大气有 我们即可得到用矢量描述的火箭绕质心转动的动力学方程为：
dω T I⋅ + ωT × (I ⋅ ωT ) = M st + M c + M d + M ′ + M ′ rel k dt （3.4）
3.2 地面发射坐标系中空间弹道的方程
0 I y1 0
0⎤ ⎥ 0⎥ I z1 ⎥ ⎦
（3.28）
由气动计算可得静稳定力矩、阻尼力矩在箭体坐标系 中各分量表达式：
⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ β ⎥ Mst = ⎢My1st ⎥ = ⎢my1qSMlk ⋅ β ⎥ ⎢M ⎥ ⎢mα1qSMlk ⋅α ⎥ ⎦ ⎣ z1st ⎦ ⎣ z
（3.26）
将 式 （ 3.6 ） 、 （ 3.8 ） 、 （ 3.9 ） 、 （ 3.11 ） 、 （3.17）、（3.19）、（3.22）、（3.26）代入式 （3.5），并令 力）， 则在发射坐标系中建立的质心动力学方程为：
⎡ dv x ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎡ −C x qS M ⎤ ⎡ ⎤ Pe ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ dv ⎢ ⎥ m ⎢ y ⎥ = G B ⎢ Y1c + 2mωTz1 x1e ⎥ + G v ⎢C α qS M α ⎥ y ⎢ dt ⎥ ⎢ α ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −C y qS M β ⎥ ⎣ Z1c − 2mωTy1 x1e ⎦ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ dv z ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ x + Rox ⎤ g′ ⎢ g ⎥ + m r ⎢ y + Roy ⎥ + m ωe r ωe ⎢z + R ⎥ oz ⎦ ⎣ ⎡ωex ⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥ ωey ⎥ − m ⎢ a21 ⎢ ⎢ ⎢ω ⎥ ⎢ a31 ⎣ ⎣ ez ⎦ a12 a22 a32
则离心惯性力在发射坐标系上的分量为
⎡ Fex ⎤ ⎡ aex ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Fey ⎥ = − m ⎢ aey ⎥ ⎢F ⎥ ⎢a ⎥ ⎣ ez ⎦ ⎣ ez ⎦
（3.22）
8．哥氏惯性力项 记 为哥氏加速度
δr a k = 2ω e × δt
（3.23）
δ r 为火箭相对于发射坐标系的速度，即有 δt δr = [ x y z ]T δt
可得推力在地面发射坐标系的分量为：
（3.7）
已知弹体坐标系到地面坐标系的方向余弦阵［附录］
⎡ Px ⎤ ⎡P⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ Py ⎥ = G B ⎢ ⎥ ⎢P ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ z⎦
（3.8）
3．气动力项 已知火箭飞行中所受气动力在速度坐标系中的分量为
⎡− X R = ⎢Y ⎢ ⎢Z ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ x + Rox ⎤ gω e ⎢ ⎥ y + Roy ⎥ + m ⎢ ω ⎢z + R ⎥ oz ⎦ ⎣
⎡ωex ⎤ ⎢ ⎥ ωey ⎥ ⎢ ⎢ω ⎥ ⎣ ez ⎦
（3.17）
6．附加哥氏力项 由式（2.16）
Fk′ = −2mωT × ρ e
ωT 为箭体相对于惯性（或平移）坐标系的转动角
速度矢量，它在箭体坐标系的分量可表示为
2
Fs = mg + R + Pst + Fc
（3.1） 作用在火箭上的引力矢量； 作用在火箭上的气动力矢量； 发动机推力静分量矢量； 作用在火箭上的控制力矢量。
考虑到将附加相对力与发动机推力静分量合成为 推力，见式(2.32）。 则可得火箭在惯性坐标系中以矢量描述的质心动 力学方程（为书写方便，以后均写成）
为牵连加速度。 根据式（3.16），并注意到
r = ( x + Rox ) x + ( y + Roy ) y + ( z + Roz ) z
0 0
0
则牵连加速度在发射坐标系中的分量形式为
⎡ aex ⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ aey ⎥ = ⎢ a21 ⎢ a ⎥ ⎢ a31 ⎣ ez ⎦ ⎣
第三章 火箭的运动方程
为了严格、全面的描述远程火箭 的运动，提供准确的运动状态参 数，需要建立准确的空间运动方 程及相应的空间弹道计算方程。
3.1 远程火箭矢量形式的动力学方程 3.1.1 质心动力学方程 式（1.58）给出了任一变质量质点系在惯 性坐标系中的质心动力学矢量方程：
d rc⋅m ′ = Fs + Fk′ + Frel m 2 dt
⎡ mω1x1 qS M lk ω x1 ⎤ ⎡ M x1d ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ M ⎥ = ⎢ mω y1 qS l ω ⎥ M d = ⎢ y 1d ⎥ y1 y1 M k ⎢ ω ⎥ ⎢ M z1d ⎥ ⎢ m z1 qS l ω z1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ z1 M k ⎦
由于控制力矩与所采用的执行机构有关，这里以燃气 舵 作 为 执 行 机 构 ， 则 其 控 制 力 矩 即 如 式 （ 2.141 ） （2.143）所示：
⎡ωex ⎤ ⎡ cos B0 cos A0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢sin B ⎥ ωey ⎥ = ωe ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ω ⎥ ⎢ − cos B0 sin A0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ez ⎦
（3.16）
于是可将式（2.27）写成发射坐标系分量形式：
⎡gx ⎤ ′ gr ⎢ ⎥ m ⎢gy ⎥ = m r ⎢g ⎥ ⎣ z⎦
⎡ Fcx ⎤ ⎡ − X 1c ⎤ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ Fcy ⎥ = G B ⎢ 1c ⎥ ⎢F ⎥ ⎢ Z1c ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ cz ⎦
（3.11）
5．引力项 根据式
′ mg = mg r r + mg ω e ω
0
ae 2 fM 2 ′ g r = − 2 [1 + J ( ) (1 − 5sin φ )] r r
（3.13）
A0 μ0
为发射方位角， 为发射点地理纬度与地心纬度之差， μ 0 = B 0 − φ 0
由于假设地球为一两轴旋转椭球体，故可由子午椭圆方 程求取：
R0 =
aebe a sin φ0 + b cos φ0
2 e 2 2 e 2
ρ 在发射坐标系的三分量为 x、 y、 z 。
由式（3.12）可得
gωe ae 2 fM = − 2 2 J ( ) s in φ r r
0 e
由图3－1可知，任一点 地心矢径为
பைடு நூலகம்
r = R0 + ρ
（3.12） 为发射点地心矢径， 为发射点到弹道上任一 点的矢径。
在发射坐标系上的三分量可由图3－1求得：
⎡ Rox ⎤ ⎡ − R0 sin μ 0 cos A0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Roy ⎥ = ⎢ R0 cos μ 0 ⎥ ⎢ R ⎥ ⎢ R0 sin μ0 sin A0 ⎥ ⎦ ⎣ oz ⎦ ⎣
b11 = b22 = b33 = 0 b12 = −b21 = −2ωez b31 = −b13 = −2ωey b23 = −b32 = −2ωez
从而可得哥氏惯性力在发射坐标系的分量形式为
⎡ Fkx ⎤ ⎡ akx ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Fky ⎥ = − m ⎢ aky ⎥ ⎢F ⎥ ⎢a ⎥ ⎣ kz ⎦ ⎣ kz ⎦
r
0
在发射坐标系的分量为
x + R0x 0 y + R0 y 0 z + R0z 0 r = x + y + z r r r
0
（3.14）
ω 0 在发射坐标系的三分量可写成： e
ωex 0 ωey 0 ωez 0 ω = x + y + z ωe ωe ωe
0 e
（3.15）
ωex、 ωey、 ωez 和 ωe 之间有如下关系，见图3.1
用矢量描述的火箭质心动力学方程和绕心转动 的动力学方程给人以简洁、清晰的概念，但 对这些微分方程求解还必须将其投影到选定 的坐标系中来进行。 通常是选择地面发射坐标系为描述火箭运动的 参考系，该坐标系是定义在将地球看作以角 速度 ω e 进行自转的两轴旋转椭球体上的。
3.2.1 地面发射坐标系中的质心动力学方程 由于地面发射坐标系为一动参考系，其相对于惯性坐标系以角 速度 转动，故由矢量导数法则可知： e
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎡ x + Rox ⎤ ⎥ ⎢y + R ⎥ a23 ⎥ ⎢ oy ⎥ ⎢ ⎥ a33 ⎥ ⎣ z + Roz ⎦ ⎦
（3.21）
其中
2 a11 = ωex − ωe2 , a12 = a21 = ωexωey 2 a22 = ωey − ωe2 , a23 = a32 = ωeyωez 2 a33 = ωez − ωe2 , a13 = a31 = ωezωex
（3.18）
从而在发射坐标系中的分量可由下式来描述：
′ ′ ⎡ Fkx ⎤ ⎡ Fkx1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ′ Fky ⎥ = G B ⎢ Fky1 ⎥ ⎢ ⎢F′ ⎥ ⎢F′ ⎥ ⎣ kz ⎦ ⎣ kz1 ⎦
（3.19）
7．离心惯性力项 记
a e = ω e × (ω e × r )
（3.20）
2
（3.5）
将上面等式各项在地面发射坐标系中分解： 1. 相对加速度项
⎡ dvx ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎢ ⎥ 2 δ r ⎢ dv y ⎥ =⎢ 2 ⎥ δt dt ⎢ ⎥ dvz ⎥ ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦
（3.6）
2．推力项 由式（2.32）知，推力在弹体坐标系内描述形式最简 单，即
⎡ − mue + S e ( pe − pH ) ⎤ ⎡ P ⎤ ⎥ = ⎢0 ⎥ P=⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
（3.9）
4．控制力项
由2.3节内容已知无论执行机构是燃气舵或不同配置形式的摇摆发 动机，均可将控制力以弹体坐标系的分量表示为同一形式：
⎡ − X 1c ⎤ Fc = ⎢Y1c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Z1c ⎥ ⎣ ⎦
力在地面坐标系的三分量不难用下式求得：
（3.10）
而各力的具体计算公式则根据采用何种执行机构而定，因此控制