【数学】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020-2021学年高二上学期开学考试(文)

四川省宜宾市叙州区第二中学校2020-2021学年
高二上学期开学考试（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．若a,b,c 是是实数，则下列选项正确的是 A ．若22ac bc >，则a b > B ．若
a b
c c
>，则a b > C ．若22a b >，则a b >
D ．若a b >，则a b >
2．设D 为ABC ∆所在平面内一点，5BC CD =，则
A ．1655AD A
B A
C =
- B ．1655AD AB AC =+ C ．1655AD AB AC =-- D ．16
55
AD AB AC =-+
3．在ABC ∆中，若sin cos A B
a b
=，则角B 为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2
π
4．已知直线l 和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是 A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ C ．若//l α，l β//，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
5．若数列{}n a 的通项公式为()*2
196
n n
a n N n =
∈+，则这个数列中的最大项是 A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项
D ．第15项 6．△ABC 中,根据下列条件,确定△ABC 有两解的是 A ．a=18,b=20,A=120° B ．a=60,c=48,B=60° C ．a=3,b=6,A=30° D ．a=14,b=16,A=45°
7．{}n a 为等差数列，且74321,0a a a -=-=，则公差d = A ．2-
B ．1
2
-
C ．
12
D ．2
8．已知函数2()2f x x x =-对任意的x ∈R ，不等式()1f x mx >--恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．[]
2,1-
B ．（-1,0）
C ．（0,4）
D ．[
)1,5 9．设()()()1,2,,1,,0(0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点),若A B C
、、
三点共线,则21
a b
+的最小值是 A ．4
B ．92
C ．8
D ．9
10．在平面直角坐标系内有两个点()4,2A ，()1,2B -，若在x 轴上存在点C ，使
2
ACB π
∠=
，则点C 的坐标是
A ．(3,0)
B ．(0,0)
C ．(5,0)
D ．(0,0)或(5,0) 11．阿基米德立体是一种高度对称的半正多面体，并且都是可以从正多面体经过截角，截半·截边等操作构造而成.阿基米德立体的三个视图全都一样，下图是棱长为2的正方体经过截角得到的阿基米德立体的正视图，则该几何体的表面积为 A ．623+ B ．1223+ C ．1243+
D ．1643+
12．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222
312
222244123
n
a a a a n n
+++
+=-，且0n a ≥，则100S 等于
A ．5048
B ．5050
C ．10098
D ．10100
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若直线l 经过原点和(11)-，，则直线l 的倾斜角大小为__________． 14．若△ABC 的面积为23，且A =
3
π
，则AB ·AC =_______ 15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC .23AB AC ==，120BAC ∠=︒，
4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .
16．已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(),0π对称； ②图象C 关于直线11
12
x π=
对称； ③函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 . 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

17．（10分）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C .
（1）求点D 的坐标；
（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.
18．（12分）已知直线l 方程为（m+2）x ﹣（m+1）y ﹣3m ﹣7＝0，m ∈R ． （1）求证：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；
（2）若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．
19．（12分）在ABC 中，点D 在BC 边上，已知cos 5
CAD ∠=
，
cos C ∠=
． （1）求ADC ∠； （2）若10AB ，6CD =，求BD ．
20．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，1a 、3a 、7a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）若数列{}n a 是递增数列，数列{}a b 满足2n a
n b =，n T 是数列{}n n a b 的前n 项和，求
n T 并求使1000n T >成立的n 的最小值.
21．（12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且
22AB DE CG ===．
（1）求三棱锥A FGC -的体积；
（2）求证：面GEF ⊥面AEF ．
22．（12分）设[]
1,1A =-，22B ⎡=-
⎢⎣⎦
，函数2()21f x x mx =+-. （1）设不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A
B ⊆时，求实数m 取值范围；
（2）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，试求x B ∈时，()f x 的值域；
（3）设2
()g x x a x mx =---，求()()f x g x +的最小值．
参考答案
1．B 2．D 3．B
4．A
5．C
6．D
7．B
8．C
9．D
10．D
11．C 12．D 13．
34
π 14．4 15．64π
16．②③
17． (1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.
∴D (－1,6)． (2)∵k AC ＝
＝1，k BD ＝
＝－1，
∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．
18．（1）直线l 方程为（m +2）x -（m +1）y -3m -7=0，m ∈R ， 即m （x -y -3）+2x -y -7=0，令x -y -3=0，可得2x -y -7=0，
联立方程组求得4
1x y =⎧⎨=⎩
，可得直线l 恒过定点P （4，1）．
（2）若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等， 令x =0，求得y =-
371m m ++；令y =0，求得37
2
m x m +=+， ∴-
371m m ++=372
m m ++，求得m =-32或73-，
∴直线l 方程为
12x +12y -52
=0或-13x +43y =0，即x +y -5=0或y =1
4x ．
19．（1）在ABC 中，cos 5CAD ∠=
，cos 10
C ∠=，
则sin 5CAD ∠=
，sin 10
C ∠=， 故cos cos()cos()ADC CA
D C CAD C π∠=-∠-∠=-∠+∠，
sin sin co s cos 2
CAD C CAD C =∠∠∠=-
∠-，
因为(0,)
ADCπ
∠∈，所以
3
4
ADC
π
∠=．
（2）在ACD中，由正弦定理得
sin
sin
DC C
AD
CAD
⋅
==
∠
在ABD
△中，
3
44
ADB
ππ
π
∠=-=，
结合余弦定理有2
10182
BD BD
=+-⨯，
化简得2680
BD BD
-+=，解得4
BD=或2
BD=，故4
BD=或2
BD=．20．（1）39
S=，
2
3
a
∴=，
1
3
a d
∴+=①
1
a，
3
a，
7
a成等比数列，2
317
a a a
∴=，()()
2
111
26
a d a a d
∴+=+②，
由①②得：
1
3
d
a
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
1
2
d
a
=
⎧
⎨
=
⎩
，当
1
3
d
a
=
⎧
⎨
=
⎩
时，3
n
a=，当
1
1
2
d
a
=
⎧
⎨
=
⎩
时，1
n
a n
=+.（2）因为数列{}n a是递增数列，所以0
d≠，1
n
a n
∴=+，1
2n
n
b+
∴=，从而()1
12n
n n
a b n+
=+⋅，
234
223242
n
T=⋅+⋅+⋅()1
12n
n+
+++⋅①，
345
2223242
n
T=⋅+⋅+⋅()2
12n
n+
+++⋅②，
①-②得：34
822
n
T
-=++()
12
212
n n
n
++
++-+⋅=
()
()
31
2
221
812
21
n
n
n
-
+
-
+-+⋅
-
2
2n
n+
=-⋅
所以2
2n
n
T n+
=⋅.易知数列{}n T是递增数列，又640
s
T=，
6
1536
T=，
所以使1000
n
T>成立的n的最小值为6.
21．（1）因为面BDEF⊥面ABCD，面BDEF⋂面,
ABCD BD FB BD
=⊥，
所以FB ABCD
⊥面又因为CG⊥面ABCD，故//
CG FB，
1
1
2
PGC BGC
S S BC GC
∆∆
==⨯=因为,
AB FB AB BC
⊥⊥，
所以AB即三棱锥A FGC
-的高，因此三棱锥A FGC
-的体积
12
12
33
V=⨯⨯=
（2）如图，设EF的中点为M，连结AM GM AG
、、．
在RT ACG ∆中可求得3AG =；
在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得FG EG ==
在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得AF AE ==从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM GM ==，
此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，
所以AM GM ⊥
因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面， 因此面GEF ⊥面AEF
22．（Ⅰ）[1,1]A
B =-，因为()
C A B ⊆⋃，二次函数2()21f x x mx =+-图象
开口向上，且280m ∆=+>恒成立，故图象始终与x 轴有两个交点，由题意，要使这两个
交点横坐标12,[1,1]x x ∈-，当且仅当
(1)0
(1)011
4f
f m ⎧
⎪-≥⎪
≥⎨⎪⎪-<-<⎩
， 解得
11m -≤≤ （Ⅱ）对任意x ∈R 都有(1
)(1)f x f x +=-，所以()f x 图象关于直线1x =对称 所以m
14
-
=，得
4m =- 所以2
()2(
1)3f x x =--为⎡⎢⎣⎦
上减函数． min ()f x =-max ()f x =．
故x B ∈时，()f x 值域为[-．
（Ⅲ）令()()()x f x g x ϕ=+，则2
()||1x x x a ϕ=+--
（i ）当x a ≤时，2
215()124x x x a x a ϕ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝
⎭， 当1
2
a ≤
，则函数()x ϕ在(,]a -∞上单调递减， 从而函数()x ϕ在(,]a -∞上的最小值为2()1a a ϕ=-． 若12a >
，则函数()x ϕ在(,]a -∞上的最小值为1524a ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且1()2a ϕϕ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
．
（ii ）当x a ≥时，函数2
2
15()124x x x a x a ϕ⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝
⎭
若12a ≤-，则函数()x ϕ在(,]a -∞上的最小值为1524a ϕ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且1()2a ϕϕ⎛⎫
-≤ ⎪⎝⎭
若1
2
a >-
，则函数()x ϕ在(,)a +∞上单调递增， 从而函数()x ϕ在(,)a +∞上的最小值为2
()1a a ϕ=-． 综上，当12a ≤-时，函数()x ϕ的最小值为54
a -- 当11
22a -
<≤时，函数()x ϕ的最小值为21a - 当12
a >时，函数()x ϕ的最小值为54a -+。