山东省青岛市莱西市2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析

山东省青岛市莱西市2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.使分式2
x−3
有意义的x的取值范围是()
A. x>3
B. x≠3
C. x<3
D. x=3
2.下列分解因式正确的是()
A. −ma−m=−m(a−1)
B. a2−1=(a−1)2
C. a2+3a+9=(a+3)2
D. 4a2−12ab+9b2=(2a−3b)2
3.如图，将周长为12的△DEF沿FE方向平移1个单位得到△ABC，
则四边形ABFD的周长为()
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
4.关于x的方程3x−2
x+1=2+m
x+1
无解，则m的值为()
A. −5
B. −8
C. −2
D. 5
5. 5.某次体育测试后，12名九年级学生的成绩如下表所示，这这组数据的众数和中位数分别是()
成绩686769.57069
人数21234
A. 69，69.5
B. 70，69
C. 69，69
D. 69，70
6.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，
N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为()
A. 3
B. 5
C. 6
D. 无法确定
7.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D
作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是
()
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
C. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2CD，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB
上，连接EF、CF，则下列结论①∠DCF=∠ECF；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC< 2S△CEF.中正确的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.若代数式x−2
x+2
的值等于零，则x=______ ．
10.已知学生的学科期末成绩由期末分数、作业分数、课堂参与分数三部分组成，并按4:3:3的比例
确定，若小明的数学期末分数为85分，作业分数为90分，课堂参与分数为80分，则他的数学期末成绩为________．
11.已知a+1
a =5，则a2+1
a2
的值是______．
12.如图，把△ABC绕C点按顺时针方向旋转了38°，得到△A′B′C，A′B′交AC
于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=______．
13.已知菱形ABCD的周长是40，对角线AC=16，则菱形ABCD的面积为___________．
14.如图，将△ABC沿CB方向平移3cm到△A′B′C′的位置，若BC=5cm，
则B′C=______ cm．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
15. 先化简，再求值：(1+1x−1)÷x x 2−1，其中x =−4．
16. 解分式方程：
①40x−3=
64x ； ②2x x−1+2=−21−x ．
四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
17. 如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上，
(1)将△AOB 向右平移4个单位长度得到△A 1O 1B 1，请画出△A 1O 1B 1；
(2)以点A 为对称中心，请画出△AOB 关于点A 成中心对称的△AO 2B 2，并写点B 2的坐标；
(3)以原点O 为旋转中心，请画出把△AOB 按顺时针旋转90°的图形△A 2OB 3．
18.因式分解：ab4−4ab3+4ab2．
19.某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩
如图所示．
(1)根据图示填写下表：
平均数/分中位数/分众数/分
A校______85______
B校85______100
(2)结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
(3)计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
20.如图，在平行四边形ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：AE=FE；
(2)若AB=2BC，∠F=36°，求∠B的度数．
21.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延
长线于点F，连接CF．
(1)求证：AF=DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
22.“清明节”前夕，某花店用6000元购进若干花篮，上市后很快售完，接着又用7500元购进第
二批同样的花篮．已知第二批所购的数量是第一批数量的1.5倍，且每个花蓝的进价比第一批的进价少5元，求第一批花篮每个进价是多少元？
23.如图，点P是△ABC内一点，∠BAC=90°，AB=AC，PA=2，PB=1，
PC=3，求∠APB的度数．
24.已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=90°，点M是CE的中点，连
接DM
(1)如图1，当点E、F分别在AD、AC上时，若AD=4，EF=√2，求DM的长；
(2)如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF，FM，求证：DM=FM，DM⊥FM；
(3)如图3，当点E不在BA延长线上且点F在DE上时，过点A作AG⊥EC，垂足为G，连接
FM，试探究DM与FM的关系．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0，根据题意，答案可得．
解：根据题意得：x−3≠0，
解得：x≠3．
故选B．
2.答案：D
解析：
本题考查因式分解的知识点，注意应用公式法时，要严格按照公式进行分解．
利用提取公因式、平方差公式及完全平方公式分解即可求出答案．
解：A.左边=−m(a+1)，故A错误；
B.左边=(a+1)(a−1)，故B错误；
C.左边多项式不是完全平方公式，故C错误；
D.4a2−12ab+9b2=(2a−3b)2，故D正确，
故选D．
3.答案：C
解析：
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
解：根据题意，将周长为12个单位的△DEF沿边FE向左平移1个单位得到△ABC，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=12，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=14．
故选C．
4.答案：A
解析：
此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解：去分母得：3x−2=2x+2+m，
化简得x=m+4，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，
代入整式方程得：−1=m+4，
解得：m=−5．
故选A．
5.答案：C
解析：由表格数据可知，69出现的次数最多，有4次，即众数为69；其中位数为第6、7个数据的
=69．
平均数，即中位数为69+69
2
故选：C．
点睛：本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.答案：B
解析：
本题考查的是轴对称−最短路线问题及正方形的性质，难度一般．
由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，得BM的长即为DN+MN 的最小值，
在Rt△BCM中利用勾股定理求出BM的长即可．
解：连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴AC垂直平分线段BD，
∴BN=DN，
则DN+MN=BN+MN，
当B、N、M三点共线时，BN+MN的值最小，
如图N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∵CM=CD−DM=4−1=3，
∴在Rt△BCM中，BM=√CM2+BC2=√32+42=5．
故选：B．
7.答案：D
解析：
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项B错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；选项D正确；
故选D．
8.答案：B
解析：
本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF≌△DMF是解题关键，①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；④根据EF=FM，得到S△EFC=S△CFM，根据MC>BE，得到S△BEC<2S△EFC.
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF≠∠ECF，故此选项错误；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{∠A=∠MDF
∠AFE=∠DFM AF=DF
，
∴△AEF≌△DMF，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°−x，
∴∠EFC=180°−2x，
∴∠EFD=90°−x+180°−2x=270°−3x，
∵∠AEF=90°−x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
∴正确的有②③，
故选B．
9.答案：2
解析：解：x−2=0，解得x=2.且x+2≠0，∴x=2.故答案为2．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
分式值为0，那么需考虑分子为0，分母不为0．
10.答案：85分
解析：
本题考查了加权平均数的概念．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．因为数学期末总评成绩由期末分数、作业分数、课堂分数三部分组成，并按4：3：3的比例确定，所以利用加权平均数的公式即可求出答案．
解：4+3+3=10，
由题意知，小明的期末总评成绩为：
85×4
10+90×3
10
+80×3
10
=34+27+24
=85(分).
故答案为85分．
11.答案：23
解析：
本题考查的是完全平方公式，代数式求值有关知识，首先对该式利用完全平方公式进行变形，最后再代入计算即可．
解：∵a+1
a
=5，
∴原式=(a+1
a )
2
−2
=52−2
=23．
故答案为23．
12.答案：52°
解析：
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得∠ACA′=38°，∠A=∠A′，然后利用互余计算出∠A′的度数，从而得到∠A的度数．
解：∵△ABC绕C点按顺时针方向旋转了38°，得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACA′=38°，∠A=∠A′，
∵∠A′DC=90°，
∴∠A′=90°−38°=52°，
∴∠A=52°．
故答案为52°
13.答案：96
解析：
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知AB，BO根据勾股定理即可求得AO的值，根据对角线长即可计算菱形ABCD的面积．
解：如图：
菱形ABCD的周长为40，
则AB=10，
∵AC=16，
∴AO=8，
∵菱形对角线互相垂直，
∴△ABO为直角三角形，
∴BO=√AB2−AO2=6，
∴BD=2BO=12，
∴菱形ABCD的面积：1
2AC·BD=1
2
×12×16=96．
故答案为96．
14.答案：8
解析：解：∵将△ABC沿CB方向平移3cm到△A′B′C′的位置，∴BB′=3cm，
∵BC=5cm，
∴B′C=BB′+BC=8cm．
故答案为8．
根据平移的性质，对应点的连线的长度等于平移的距离可得BB′=3cm，代入B′C=BB′+BC即可．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15.答案：解：原式=(x−1
x−1+1
x−1
)÷x
(x+1)(x−1)
=
x
x−1
⋅
(x+1)(x−1)
x
=x+1，
当x=−4时，原式=−4+1=−3．
解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16.答案：解：(1)方程两边都乘以x(x−3)得，
40x=64(x−3)，
64x−40x=192，
x=8，
检验：当x=8时，x(x−3)≠0，
∴x=8是原方程的解；
(2)方程两边都乘以(x−1)得，
2x+2(x−1)=2，
4x=4，
x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
∴x=1是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
(1)方程两边都乘以x(x−3)，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经
检验即可得到分式方程的解；
(2)方程两边都乘以(x−1)，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17.答案：解：(1)如图所示：△A1O1B1为所求作的三角形．
(2)如图所示：△AO2B2为所求作的三角形，B2(−1,4)．
(3)如图所示：△A2OB3为所求作的三角形．
解析：(1)分别作出O，A，B的对应点O1，A1，B1即可．
(2)分别作出O，B的对应点O2，B2即可．
(3)分别作出A，B的对应点A2，B3即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.答案：解：原式=ab2(b2−4b+4)=ab2(b−2)2．
解析：首先提公因式ab2，再利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一
般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19.答案：解：(1)85；85；80．
(2)A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
×[(75−85)2+(80−85)2+(85−85)2+(85−85)2+(100−85)2]=70，(3)∵A校的方差s12=1
5
×[(70−85)2+(100−85)2+(100−85)2+(75−85)2+(80−85)2]=160．
B校的方差s22=1
5
∴s12<s22，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
解析：
此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
(1)根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；
(2)根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
(3)分别求出A校、B校的方差即可．
解：(1)A校平均数为：1
5
×(75+80+85+85+100)=85(分)，众数85(分)；
B校中位数80(分)．
填表如下：
故答案为：85；85；80．
(2)(3)见答案．
20.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，{∠D=∠ECF
DE=CE
∠AED=∠FEC
，
∴△ADE≌△FCE(ASA)
∴AE=FE；
(2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD=FC，
∵AD=BC，AB=2BC，∴AB=FB，
∴∠BAF=∠F=36°，
∴∠B=180°−2×36°=108°．
解析：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形
内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)利用平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE，即可得到AE=FE；
(2)证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
21.答案：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，
在△AFE和△DBE中，
{∠AFE=∠DBE ∠FAE=∠BDE
AE=DE
，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=BD，
∵AD是BC边中线，
∴CD=BD，
∴AF=CD，
(2)解：四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)得
AF=CD，AF//CD
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=1
2
BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
解析：此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及菱形的判定．注意掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
(1)由E是AD的中点，过点A作AF//BC，易证得△AFE≌△DBE，然后可证得AF=BD=CD；
(2)先证明四边形ADCF是平行四边形，由AB⊥AC，AD是BC边上的中线，可得AD=CD=1
2
BC，然后证得四边形ADCF是菱形．
22.答案：解：设第一批花篮每个进价是x元，则第二批花篮每个进价是(x−5)元，
根据题意得：7500
x−5=1.5×6000
x
，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解．
答：第一批花篮每个进价是30元．
解析：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出关于x的分式方程是解题的关键．
设第一批花篮每个进价是x元，则第二批花篮每个进价是(x−5)元，根据数量=总价÷单价结合第二批所购的数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．23.答案：解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PAC绕A点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴BD=PC=3，AD=AP=2，∠PAD=90°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴DP=√2PA=2√2，∠DPA=45°，
在△BPD中，PB=1，PD=2√2，DB=3，
∵12+(2√2)2=32，
∴BP2+PD2=BD2，
∴△BPD为直角三角形，
∴∠BPD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．
解析：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．
由于∠ABC=90°，BC=AB，则可以把△PAC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，根据旋转的性质得到AD=AP=2，BD=PC=3，∠PAD=90°，得到△APD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DP=√ 2 PA=2 √2，∠DPA=45°，，根据勾股定理的逆定理证明△BPD为直角三角形，然后利用∠APB=∠APD+∠DPB计算即可．
24.答案：解：(1)∵△AEF为等腰直角三角形，EF=√2，
∴AF=√2，AE=2，
∴DE=2，
由正方形ABCD得，DC=AD=4，
∴EC=2√5，
∵M为CE中点，
∴DM=1
2
EC=√5，
(2)如图2，
延长FM交AC于H，连接DH，
∵∠FEA=∠CAB=45°，
∴EF//AC，
∴∠FEM=∠MCH，
在△FEM和△HCM中，
{∠FEM=∠MCH EM=CM
∠FME=∠CMH
，
∴△FEM≌△HCM，
∴EF=CH=AF，FM=MH
∵AD=CD，
∴∠FAD=90°−45°=45°=∠DCH，∴△DFA≌△DHC，
∴DF=DH，∠FDA=∠HDC，
∴∠FDH=90°，
∴△FDH是等腰直角三角形，
∵FM=HM．
∴DM⊥FM，DM=FM；
(3)如图3，
延长FM至H，使MH=FM，连接CH，由(2)由△EFM≌△CHM，
∴EF=CH=AF，∠FEM=∠MCH，
∴CHɛ//EF，
∴∠DCH+∠CDF=180°，
∴∠DCH+90°+∠ADF=180°，
∴∠DCH+∠ADF=90°，
∵∠ADF+∠FAD=90°，
∴∠DCH=∠FAD，
∵AD=CD，
∴△AFD≌△CHD，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴FDH=90°，
∴△FDH为等腰直角三角形，
∵FM=MH，
FH=FM．
∴DM⊥FM，DM=1
2
解析：(1)由等腰直角三角形的性质和正方形的性质直接求解；
(2)先判断△FEM≌△HCM，再判断出△DFA≌△DHC，最后得到△FDH是等腰直角三角形，即可；
(3)作出辅助线．同(2)的方法可证．
此题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的直线和判定，解本题的关键是证明△FDH为等腰直角三角形．。