2020届云南省昆明市高三第四次一轮复习检测数学（理）试题
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故选：C
【点睛】
本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力.
4．若 能被3整除，则a=（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】把17用 代换，然后用二项式定理展开，根据题意求出a的值.
【详解】
因为 ，由已知可得： .
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了有关整除的问题，考查了数学运算能力.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式可以求出当 时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出 时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可.
【详解】
当 时， (当且仅当 时取等号，即 时取等号)；
当 时，
若 ，函数的最小值为 ；
若 ，函数的最小值为 ，由题意可知： 是函数 的最小值，所以有
【详解】
设圆锥 的轴截面为等腰△ ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是△ 的内切圆，所以 ，解得： ，所以球 的体积的最大值为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.
9．设 为数列 的前n项和， ，则 的通项公式为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列 是等比数列，最后求出通项公式即可.
.
选D.
【点睛】
本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想.
12．已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 所在的直线为横轴纵轴，分类讨论当 时，设出 的坐标，最后利用圆的几何意义求出 的最大值，其他情况同理，最后比较出最大值即可.
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解一元一次不等式和对数不等式化简集合 的表示，再利用集合交集的定义，结合数轴求出结果.
【详解】
， ，
则 .
故选：D
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，考查了解对数不等式，考查了数学运算能力.
【详解】
因为 …①， 时， ，可得 ，
时， …②，①-②得 ， ，
所以 是等比数列， .
故选：B
【点睛】
本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力.
10．已知点 是双曲线 上一点， 分别是双曲线C的左、右焦点，若以 为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）
A． B．2C． D．5
因为抛物线 : 的焦点为 ，设椭圆 的方程为 （ ），所以椭圆 的半焦距 ，又因为椭圆的离心率为 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的焦点坐标，考查了数学运算能力.
6．函数 的图象的一条对称轴为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】逆用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式为正弦型函数解析式的形式，根据正弦型函数的对称性选出正确答案.
【解析】通过图象的变换可以判断出选项A的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D的正确性.
【详解】
由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有 天，B错误，10月上旬大部分 指数在100以下，10月中旬大部分 指数在100以上，D错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C正确.
【详解】
； ； ； ；…， 的值构成以 为周期的数列，因为 ，所以当 时， .
故选：D
【点睛】
本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.
8．已知圆锥 的底面半径为3，母线长为5.若球 在圆锥 内，则球 的体积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥 的轴截面为等腰△ ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是△ 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.
【答案】C
【解析】根据以 为直径的圆经过点A，结合双曲线的定义可以求出a的值，最后求出离心率.
【详解】
解析：由已知得 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以双曲线 的离心率 .
故选：C
【点睛】
本题考查了求双曲线离心率问题，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.
11．设函数 ，若 是函数 的最小值，则实数a的取值范围是（）
5．已知椭圆E的中心为坐标原点离心率为 ，E的左焦点与抛物线 的焦点重合,则椭圆E的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出抛物线的焦点坐标，这样能确定椭圆的左焦点坐标，再根据离心率的公式求出半长轴长，而后根据半长轴长、半焦距、半短轴长的关系求出半短轴长，最后确定椭圆的标准方程.
【详解】
2．已知复数z满足 ，其中i为虚数单位，则 （）
A．1B． C． D．
【答案】B
【解析】用复数除法的运算法则化简复数z的表示，再根据复数模的定义求出模的大小.
【详解】
因为 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力.
3．空气质量指数 是反映空气质量状况的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
【详解】
解析：以 所在的直线为横轴纵轴，当 时，不妨设
，设 因为 ，所以 ，
【详解】
因为 ，所以函数 的图象的一条对称轴为 .
故选：C
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的对称性.
7．执行如下所示的程序框图，则输出的a=（）
体，求出每一次 的值，可以发现规律，最后求出答案.
指数值
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市10月1日—20日 指数变化趋势：
下列叙述正确的是（）
A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．这20天中 指数值的中位数略高于100
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差
【答案】C
【点睛】
本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力.
4．若 能被3整除，则a=（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】把17用 代换，然后用二项式定理展开，根据题意求出a的值.
【详解】
因为 ，由已知可得： .
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了有关整除的问题，考查了数学运算能力.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式可以求出当 时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出 时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可.
【详解】
当 时， (当且仅当 时取等号，即 时取等号)；
当 时，
若 ，函数的最小值为 ；
若 ，函数的最小值为 ，由题意可知： 是函数 的最小值，所以有
【详解】
设圆锥 的轴截面为等腰△ ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是△ 的内切圆，所以 ，解得： ，所以球 的体积的最大值为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.
9．设 为数列 的前n项和， ，则 的通项公式为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列 是等比数列，最后求出通项公式即可.
.
选D.
【点睛】
本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想.
12．已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 所在的直线为横轴纵轴，分类讨论当 时，设出 的坐标，最后利用圆的几何意义求出 的最大值，其他情况同理，最后比较出最大值即可.
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解一元一次不等式和对数不等式化简集合 的表示，再利用集合交集的定义，结合数轴求出结果.
【详解】
， ，
则 .
故选：D
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，考查了解对数不等式，考查了数学运算能力.
【详解】
因为 …①， 时， ，可得 ，
时， …②，①-②得 ， ，
所以 是等比数列， .
故选：B
【点睛】
本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力.
10．已知点 是双曲线 上一点， 分别是双曲线C的左、右焦点，若以 为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）
A． B．2C． D．5
因为抛物线 : 的焦点为 ，设椭圆 的方程为 （ ），所以椭圆 的半焦距 ，又因为椭圆的离心率为 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的焦点坐标，考查了数学运算能力.
6．函数 的图象的一条对称轴为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】逆用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式为正弦型函数解析式的形式，根据正弦型函数的对称性选出正确答案.
【解析】通过图象的变换可以判断出选项A的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D的正确性.
【详解】
由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有 天，B错误，10月上旬大部分 指数在100以下，10月中旬大部分 指数在100以上，D错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C正确.
【详解】
； ； ； ；…， 的值构成以 为周期的数列，因为 ，所以当 时， .
故选：D
【点睛】
本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.
8．已知圆锥 的底面半径为3，母线长为5.若球 在圆锥 内，则球 的体积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥 的轴截面为等腰△ ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是△ 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.
【答案】C
【解析】根据以 为直径的圆经过点A，结合双曲线的定义可以求出a的值，最后求出离心率.
【详解】
解析：由已知得 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以双曲线 的离心率 .
故选：C
【点睛】
本题考查了求双曲线离心率问题，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.
11．设函数 ，若 是函数 的最小值，则实数a的取值范围是（）
5．已知椭圆E的中心为坐标原点离心率为 ，E的左焦点与抛物线 的焦点重合,则椭圆E的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出抛物线的焦点坐标，这样能确定椭圆的左焦点坐标，再根据离心率的公式求出半长轴长，而后根据半长轴长、半焦距、半短轴长的关系求出半短轴长，最后确定椭圆的标准方程.
【详解】
2．已知复数z满足 ，其中i为虚数单位，则 （）
A．1B． C． D．
【答案】B
【解析】用复数除法的运算法则化简复数z的表示，再根据复数模的定义求出模的大小.
【详解】
因为 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力.
3．空气质量指数 是反映空气质量状况的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
【详解】
解析：以 所在的直线为横轴纵轴，当 时，不妨设
，设 因为 ，所以 ，
【详解】
因为 ，所以函数 的图象的一条对称轴为 .
故选：C
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的对称性.
7．执行如下所示的程序框图，则输出的a=（）
体，求出每一次 的值，可以发现规律，最后求出答案.
指数值
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市10月1日—20日 指数变化趋势：
下列叙述正确的是（）
A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．这20天中 指数值的中位数略高于100
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差
【答案】C