北京市东城区2023-2024学年高一上学期期末统一检测数学试卷含答案

东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测
高一数学（答案在最后）
2024.1
本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题
共30分）
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合N A =,{}
22B x x =-<<，则A B = （
）
A.
{}1 B.
{}0,1 C.
{}
1,0,1- D.
{}
2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】
【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可.【详解】因为集合N A =,{}
22B x x =-<<，所以{}0,1A B = ，故选：B .
2.下列函数中，与1y x =-是同一函数的是（）
A.1
y =
- B.y = C.21
1
x y x -=
+ D.1
y =【答案】A 【解析】
【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.【详解】函数1y x =-的定义域为R ，
对于A ，函数11y x =-=-的定义域为R ，且对应关系与函数1y x =-相同，故A 正确；
对于B ，函数y =R ，但是1y x ==-，对应关系与函数1y x =-不相同，
故B 错误；
对于C ，函数21
1
x y x -=+的定义域为()(),11,∞∞--⋃-+，定义域不同，则不是同一函数，故C 错误；
对于D ，函数1y =-的定义域为R ，且1y x =-，则对应关系与函数1y x =-不相同，故D 错误.
故选：A.
3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A.()3
f x x = B.()2
x
f x = C.()1f x x
=-
D.()tan f x x
=【答案】A 【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.
【详解】对于A ，()()()()3
3,f x x x f x f x -=-=-=-为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A 正确，对于B ，()2x
f x =为非奇非偶函数，故不符合，
对于C ，()1
f x x
=-为反比例函数，在()0,∞+和(),0∞-均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
对于D ，()tan f x x =在πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫
++∈ ⎪⎝⎭
-单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
故选：A
4.下列命题中正确的是（）
A.若a b >，则
11
a b
< B.若a b <，则22ac bc <C.若22a b >，则a b > D.若
22a b c c
>，则a b >【答案】D 【解析】
【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A ,若取2,2a b ==-，则
1122
>-，即11
a b >，故A 错误；
对于B ，令0c =，则有22ac bc =，故B 错误；对于C ，令2,1a b =-=，则有a b <，故C 错误；对于D ，根据不等式性质可知D 正确，故选:D .
5.若1sin 2α=
，π,π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()cos πα-的值为（）
A. B.12
-
C.
2
D.
12
【答案】C 【解析】
【分析】根据同角三角函数的平方关系及诱导公式进行计算即可.【详解】因为1sin 2α=
，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
所以cos 2
α==-
，
则()cos πcos 2
αα-=-=，故选：C
.
6.下列函数中，满足对任意的1x ，()20,x ∞∈+，都有()()()1212f x x f x f x =的是（）
A.()12
f x x = B.()ln f x x = C.()2
2f x x
= D.()3
f x x
=-【答案】A 【解析】
【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.【详解】对于A ：若()1
2f x x =，则()()1
21212f x x x x =，()()()1
1
1
222121212
f x f x x x x x =⋅=，
()()()1212f x x f x f x =，成立；
对于B ：若()ln f x x =，由()()()1212f x x f x f x =，得()1212ln ln ln x x x x =，取121,2x x ==，得ln20=不成立；
对于C ：若()2
2f x x =，由()()()1212f x x f x f x =，得2222
121224x x x x =，
取121x x ==，得24=不成立；
对于D ：若()3
f x x =-，由()()()1212f x x f x f x =，得3333
1212x x x x -=，
取121x x ==，得11-=不成立.
故选：A
7.已知0.13a -=，1
3
log 5b =-，2c =，则（
）.A.a b c << B.b<c<a
C.c b a
<< D.a c b
<<【答案】D 【解析】
【分析】通过化简,,a b c ，并比较与1的大小即可得出结论.【详解】由题意，
0.131a -=<，1
3
33log 5log 5log 41b c =-=>==>，所以a c b <<.故选：D.
8.“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“()sin 1αβ+=”的（）
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】根据终边关于y x =对称，得两角的关系，再由()sin 1αβ+=，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角α与β的终边关于直线y x =对称,则π
+=
+2π,Z 2
k k αβ∈,()sin 1αβ+=,则π
+=+2π,Z 2
k k αβ∈，
“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“()sin 1αβ+=”的充分必要条件.故选:A
9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y 与时间t （单位：年）之间的关系为0e kt
y y =⋅．其中0y 为初始量，k 为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%．若该品牌塑料袋需要经过n 年，使其残留量为初始量的10%，则n 的值约为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）A.20 B.16
C.12
D.7
【答案】B 【解析】
【分析】由23e
4k
=
可得2ln 32ln 2k =-，再代入1e 10
nk =，求解即可.【详解】根据题意可得2003e 4
k
y y ⋅=⋅，
则23e 4k
=，32ln ln 32ln 24
k ==-，
则经过n 年时，有001e 10
nk
y y ⋅=⋅，
即1e 10nk
=，则1ln
ln1010
nk ==-，所以
lg101822lg 32lg 20.47720.301
n nk k --==≈=--⨯，则16n =.故选：B .
10.已知()f x 是定义在[]5,5-上的偶函数，当50x -≤≤时，()f x 的图象如图所示，则不等式()0
sin f x x
>的解集为（
）
A.()()(]
π,20,2π,5--⋃⋃ B.()()
π,22,π--⋃C.
[)()()5,π2,02,π--- D.
[)(]
5,2π,5-- 【答案】C 【解析】
【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定05x ≤≤时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求．【详解】因为()f x 是定义在[5-,5]上的偶函数，当50x -≤≤时，()f x 单调递减，(2)0f -=，所以05x ≤≤时，函数单调递增，()20f =,
所以()0f x >的解集[5-,2)(2-⋃,5]，()0f x <的解集(2,2)-，当55x -≤≤时，sin 0x >的解集[5-,π)(0-⋃,π)，
sin 0x <时的解集(π-,0)(π⋃,5]，
则不等式
()
0sin f x x >可转化为()0sin 0f x x >⎧⎨>⎩或()0sin 0
f x x <⎧⎨<⎩，解得5πx -<<-或20x -<<或2πx <<．故选：C ．
第二部分（非选择题
共70分）
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.
11.函数1
ln 1
y x x =++的定义域为______.【答案】()0,∞+【解析】
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使函数1
ln 1y x x =++有意义，则应有010x x >⎧⎨+≠⎩
，解得0x >，
所以函数1
ln 1
y x x =+
+的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.12.设0a >，则4
a a a
++的最小值为__________.【答案】5【解析】
【详解】4a a a ++
4115a a =++≥+=，当且仅当2a =时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知23x y a ==，若11
1x y
+=，则=a ______．【答案】6【解析】【分析】
先由指数式化为对数式可得2
log x a =，3log y a =，再利用11
1x y
+=即可求a 的值.【详解】由23x y a ==，可得：2log x a =，3log y a =，所以
11
log 2log 3log 61a a a x y
+=+==，则6a =，故答案为：6
14.在平面直角坐标系中，角α的终边不在坐标轴上，则使得tan sin cos ααα<<成立的一个α值为____________．【答案】π
4
-（答案不唯一）【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】不妨考虑第四象限角α，由sin cos tan 1ααα<⇒<，取π4α=-
，此时22tan 1,sin ,cos 22
ααα=-=-=
，故答案为：π
4
-
（答案不唯一）15.已知函数()()133x
f x =-，则()2f ______2（用“>”“<”“=”填空）
；()f x 的零点为______.
【答案】①.
<
②.3log 12
【解析】
【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点.【详解】()()22133452f =-=<=，
由()
1330x
-=得133
1x
-=，所以312x =，所以3log 12x =，
所以函数()f x 的零点为3log 12.故答案为：<，3log 12
16.已知符号[]
x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]x f x x
=
（0x ≠）
，给出下列四个结论：①当()
0,1x ∈时，()0f x =；②()f x 为偶函数；③()f x 在[)1,2单调递减；④若方程()f x a =有且仅有3个根，则a
的取值范围是3443,,4532⎛⎤⎡⎫
⋃
⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】
【分析】根据新定义分析()f x 得到()f x 的图象，即可判断①②③；将方程()f x a =有且仅有3个根转化为()f x 与y a =的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④.【详解】因为符号[]
x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]
()0x f x x x
=≠，
所以当()0,1x ∈时，[]0x =，则()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]
1x =，则()11,12f x x ⎛⎤=
∈ ⎥⎝⎦；当[)2,3x ∈时，[]
2x =，则()22,13f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，当[)3,4x ∈时，[]3x =，则()33,14f x x ⎛⎤=
∈ ⎥⎝⎦；当[)4,5x ∈时，[]
4x =，则()44,15f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；当[
)5,6x ∈时，[]
5x =，则()55,16f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦
；L 当[)1,0∈-x 时，[]
1x =-，则()[)1
1,f x x ∞=-
∈+；当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，则()[)2
1,2f x x
=-∈；
当[)3,2x ∈--时，[]3x =-，则()331,2f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭；当[
)4,3x ∈--时，[]
4x =-，则()441,3f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭
；所以函数()[]
()0x f x x x
=
≠的图象如图所示：
对于①，由上面的图象可知，①是正确的，对于②，由上面的图象可知，②是错误的，对于③，由上面的图象可知，③是正确的，对于④，由上面的图象可知43,
3A ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，32,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，34,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，45,5D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，因为方程()f x a =有且仅有3个根，等价于()f x 与y a =的图象有3个交点，结合图象可知，当3445a <≤或43
32
a ≤<.故答案为：①③④.
三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17.设全集U =R ，集合{
}
2
20A x x x =+-≤，{}
R 1B x x m =∈+<．（1）求U A ð；
（2）当1m =时，求A B ⋃；
（3）若x A ∀∈，都有x B ∈，直接写出一个满足条件的m 值．
【答案】（1）{|2U A x x =<-ð或1
}x >（2）{}|1A B x x =≤ （3）3（答案不唯一）【解析】
【分析】（1）解出集合A ,直接求解即可；（2）根据集合的并运算直接求解即可；
（3）根据条件可知A B ⊆，列出条件，可解得m 的范围，在范围内写出一个值即可.【小问1详解】
因为{}
{}2
20|21A x x x x x =+-≤=-≤≤，U =R ，
所以{|2U A x x =<-ð或1
}x >.【小问2详解】
当1m =时，{}
{}R 1|0B x x m x x =∈+<=<，则{}|1A B x x =≤ .【小问3详解】
{}{}R 1|1B x x m x x m =∈+<=<-，
若x A ∀∈，都有x B ∈，则A B ⊆,所以11m ->，则m>2，故m 的值可以为3（答案不唯一）.18.已知函数()()22
log 4,02
2,2
x x f x x x a x ⎧<<=⎨--≥⎩．
（1）当1a =时，①求()()1f
f 的值；
②求()f x 的图象与直线2y =的交点坐标；（2）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．
【答案】18.()()11
21,2,3,2- ；19.
[)
3,-+∞【解析】
【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令()2f x =分别求出x ，即可求解；（2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R 即可求解.【小问1详解】
①当02x <<时，2()log (4)f x x =，所以2(1)log 42f ==，当2x ≥时，2()21f x x x =--，所以(2)1f =-，所以((1))1f f =-；
②当02x <<时，2()log (4)2f x x ==，得242x =，解得1x =；
当2x ≥时，2()212f x x x =--=，即2230x x --=，解得3x =或-1（舍去），所以函数()f x 的图象与直线2y =的交点坐标为(1,2),(3,2)；【小问2详解】
当02x <<时，048x <<，所以22log (4)log 83x <=，
即当02x <<时，()(,3)f x ∈-∞；
当2x ≥时，22()2(1)1f x x x a x a =--=---，
由2(1)1x -≥，得2()(1)111f x x a a a =---≥--=-，
即当2x ≥时，()[,)f x a ∈-+∞，
所以(,3)[,)R a -∞-+∞= ，得3a -≤，解得3a ≥-，
即实数a 的取值范围为[3,)-+∞.
19.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2
ϕ<）的部分图象如图所示．
（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；
（2）当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦
时，求()f x 的最小值及此时x 的值．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭；π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）0；π3
x =
【解析】【分析】（1）结合图象，根据最小值可求得A ,根据周期可求得ω，利于图象上点7π,212⎛⎫-
⎪⎝⎭可求得ϕ，继而求得解析式，整体代换可求得单调减区间；
（2）根据变量范围，结合函数单调区间可直接求得()f x 的最小值及此时x 的值.
【小问1详解】
根据函数的最小值可知2A =,又2π7ππ4π123T ω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
,所以2ω=，此时()()2sin 2f x x ϕ=+，
又过点7π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以7π22sin 6ϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
，所以7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合π2ϕ<，所以π3ϕ=
，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.令
ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈,得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦.【小问2详解】当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,ππ2π63x ≤+≤，所以当ππ,2π33
x x =+=时，()f x 取最小值0，此时π
3x =.
20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()32x x f x -=
+．（1）求()f x 的解析式；
（2）根据定义证明()f x 在[)0,∞+上单调递减，并指出()f x 在定义域内的单调性；
（3）若对任意的x ∈R ，不等式()()222430f k x f x x -+-->恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）3,02()3,02
x x x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩（2）证明见详解；()f x 在R 上的单调递减
（3）()
,1-∞-【解析】
【分析】（1）当0x <时，利于奇函数的定义求解即可；
（2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性；
（3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为2430x x k ++->恒成立，利于Δ0<，解不等式即可.
【小问1详解】
依题()f x 是定义在R 上的奇函数，
当0x ≥时()32
x f x x -=+，当0x <时，0x ->，则()()3322x x f x f x x x =--=-
=-+-，所以3,02()3,02
x x x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩.【小问2详解】
当[)0,x ∈+∞时，()32
x f x x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，
则()()()()()()
2112121212123232332222x x x x x x f x f x x x x x +-+--=+=++++()
()()2112622x x x x -=++，
因为[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，
所以21120,20,20x x x x ->+>+>，
故()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，
所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，
根据奇函数的性质可知()f x 在R 上的单调递减.
【小问3详解】
因为()()222430f k x
f x x -+-->，化为()()
22243f k x f x x ->---，
即()()
22243f k x f x x ->-++，根据()f x 在R 上的单调递减，
则22243k x x x -<-++，在x ∈R 时恒成立，
即2430x x k ++->恒成立，
故()Δ16430k =--<，
解得1k <-，
故实数k 的取值范围为(),1∞--.
21.某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm ）满足关系：45
m P x =+（010x ≤≤）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S 为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．
（1）求出S 关于x 的函数解析式；
（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S 控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）
【答案】（1）900945S x x =+
+,010x ≤≤（2）6
【解析】
【分析】（1）利于给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可.
【小问1详解】
依题意，当0x =时，65m P =
=，所以30m =，所以3045P x =+，010x ≤≤，则900945
S x x =++（万元），010x ≤≤.【小问2详解】若90099045
S x x =+≤+，不等式化为2435500x x -+≤，
解得353588x -+≤≤
又35 6.958
+≈，所以隔热层的厚度不能超过6厘米.。