人教A版选修1-1教案：3.2立体几何中的向量方法第5课时(含答案)

§3.2.5综合问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。

由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。

【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：
坐标法与向量法结合.
【教学难点】：
适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
2
,BA CD
=
CD 所成角的余弦值为
练习与测试：
（基础题）
1，过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =， 则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90 答：B
2，设P 是60的二面角l αβ--内一点，,P
A P
B αβ⊥⊥平面平面,AB 为垂足，4,2,P A P B ==则AB 的长为 （ ）
A ．．．．
答：C
3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、
、
表示向量
，设
=x
+y
+z
，
则x 、y 、z 的值分别为
A.x=,y=,z=
B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z=
D.x=,y=,z=
解析：=－,=－,
=(+)=+－,
=－=+－,
==－++,
=+=+ +.
答案：D
4.在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，
则MN与平面BB1C1C的位置关系是
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
解析：因为正方体的棱长为a,故面对角线A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的三等分点.在B1B、BC上各取点E、F，使得B1E=BF=a.
则= ++.
但=－=－=(－)=，
D
=
－
=
－= (－)=，
∴+= + =+=0，
∴
=
，即MN ∥EF ，
∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B
（中等题）
5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.
解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、
C 1（0，4，2）、
D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝ （－2，－4，2）
所以直线EC
1与
FD 1所成的余弦值为 1
FD |
|||1111FD EC ∙＝
14
21
6，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，
90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点， ∴(0,0,1),(,
,1)22
a a
D E ，∵G 是ABD ∆的重心， 5(,,)333a a G ，∴2
(,,)663
a a EG =-，(,,0)AB a a =-，
1
y
(0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥
得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6||EG =
，
11
2
BE BA =
=sin EG EBG BE ∠==， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍， ∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于26
2||EG =
． 小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍． （难题）
7，如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG =CD ，
H 为C 1G 的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.
(1)求证：EF ⊥B 1C ；
(2)求EF 与C 1G 所成的角的余弦； (3)求FH 的长.
分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.
解：如图建立空间直角坐标系O －xyz ,D 为坐标原点O ，依据已知有E (0，0，)，F (，，0)，
C (0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G (0，，0)
(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，
=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)， 由
·=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，
得⊥，
∴EF ⊥B 1C .
(2)解：
=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||= =，
由(1)得|
|==，
且·=×0+×(－)+(－)×(－1)=，
∴cos〈,〉==.
(3)解：∵H 是C 1G 的中点,
∴H (,,),即(0,,).
又F (，，0),
∴FH =||==.
8，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点， （1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．
解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，
则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11
(,,1)22
F ，
11
(,,0)22
EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，
∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=， ∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．
（2）设(1,,)n x y =是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE =
F
E
1
1
1
1
D C B A D
C
B
A
∴10n DB x ⋅=+=，0n DE x y ⋅=+=，(1,1,1)n =-，
点1D 到平面BDE 的距离1||||
BD n d n ⋅==。