高三数学上学期期末考试试题理_2 2

2021年秋四中高三期末考试考试
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
理科数学
第一局部〔选择题 一共60分〕
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．集合{2101}A =--，，，，{|1}B x y x ==+，那么A B =
A ．{2101}--，，，
B ．{210}--，，
C ．{01}，
D ．{101}-，，
2．复数
3i
1i
-=- A ．2i +
B ．2i -
C ．1i +
D ．1i -
3.设,,a b c 为实数,且0a b <<,那么以下不等式正确的选项是 A.
11a b
< B.22
ac bc <
C.
b a a b
>
D.22
a a
b b >>
4.函数()ln 1
1
x f x x +=
+的大致图象为
A
B
C
D
5.为理解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了局部学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，以下结论中不正确的选项是
A ．样本中的男生数量多于女生数量
B ．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付 D ．样本中多数女生喜欢现金支付
x y 2sin =的图象向左平移
6
π
个单位长度，那么平移后图象的对称轴方程为〔 〕 A ．)(122Z k k x ∈-=
ππ B ．)(2
2Z k k x ∈+=ππ C. )(2
Z k k x ∈=
π D ．)(12
2Z k k x ∈+=π
π
7. 一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图,那么该截面的面积为〔 〕
A ．
92 B ．4 C. 3 D 310
8. 假设函数()32
4f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，那么实数a 的取值范围
为〔 〕
A ．()1,5
B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞
9. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，假如截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，
B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根
据祖暅原理可知，p 是q 的〔 〕
10．假设曲线2
y ax =与曲线ln y x =在它们的公一共点处具有公一共切线，那么实数a 的
值是〔 〕
A.
12e B.1
2 C. 1
e
()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，假设不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，那么实数a 的取值范围是
A ．()15,+∞
B ．[)15,+∞ C.(),6-∞ D ．[)6,+∞
12．抛物线2
2(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M 〔0，4〕的间隔 之和的最小值为
F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，那么MOF ∆的内切圆半径为
A B C 1 D ．2二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.
10
展开式中含3x 项的系数是 ．
()11sin 24f x x x x =
-的图象在点()00,A x y 处的切线斜率为1，那么0tan x = ．
P 是椭圆14
92
2=+
y x 第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y 轴和直线
x y 32-=分别交于点N M ,，过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线x y 3
2
-=分别交于点
Q R ,，设O 为坐标原点，那么OMN ∆和ORQ ∆的面积之和为 .
ABC ∆中，0120,2,4=∠==BAC AC AB ，D 是边BC 的中点. 假设E 是线段AD 的中
点，那么=•EC EB .
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题。

第22、23题为选考题，考生根据要求答题。

〔一〕必考题：一共60分。

17.〔12分〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． 〔1〕求n a ； 〔2〕设数列1{
}n S 的前n 项和为n T ，求证：4
n T 3
<． 20162011-年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与〞的评分值〔满分是100分〕进
展了统计，制成如下图的散点图：
〔1〕根据散点图，建立y 关于t 的回归方程∧
∧
∧
+=a t b y ；
〔2〕根据〔1〕中的回归方程，预测该2017年和2018 年“运动参与〞评分值. 附：对于一组数据),(),...,,(),,(2211n n y t y t y t ，其回归直线∧
∧
∧
+=a t b y 的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为：-
∧-∧=-
=-
-∧
-=---=
∑∑t b y a t t
y y t t
b n
i i
n
i i i
,)()
)((1
2
1
.
19. 〔本小题满分是12分〕如图,矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面互相垂直,60ABE ∠=,G 为BE 的中点. (Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；
(Ⅱ)假设3AB BC =,求二面角D CA G --的余弦值.
20.〔本小题满分是12分〕设O 为坐标原点，抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为)0,2(F ，过点)1,0(-E 的直线l 交抛物线C 于B A ,两点. 〔Ⅰ〕当直线l 经过点F 时，求||OB OA +的值；
〔Ⅱ〕过点)1,0(-E 作不经过原点的两条直线EN EM ,分别与抛物线C 和圆F ：错误！未找到引用源。

4)2(2
2
=+-y x 相切于点N M ,，求证：F N M ,,三点一共线．
21．〔本小题满分是12分〕 函数2
1()e 12
x
f x x ax =---
〔其中a ∈R ，e 为自然对数的底数〕． 〔Ⅰ〕假设函数()f x 无极值，务实数a 的取值范围； 〔Ⅱ〕当0x >时，证明：2
(e 1)ln(1)x
x x -+>．
〔二〕选考题：一共10分.请考生在22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.
22.〔本小题满分是10分〕 [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，l 是过点(1,0)P -且倾斜角为4
π
O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 〔1〕求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕假设直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求PA PB +.
23.〔本小题满分是10分〕
[选修4-5：不等式选讲]函数()21f x x a x =+--. 〔1〕当1a =时，解不等式()2f x >；
〔2〕当0a =时，不等式2
()7f x t t >--对任意x R ∈恒成立，务实数t 的取 值范围.
2021年秋四中高三期末考试考试
理科数学答案
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

1.D
2.A
3.D
4.A
5.D
6.D
7.A
8.B
9.A 10.A
二．填空题
13. 210 14.3- 15.3 16.4
25
-
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

〔一〕必考题：一共60分。

17.〔12分〕
解析：〔1〕设公差为d ，由题111
2829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，
，解得13a =，2d =． ·· 2分
所以21n a n =+． ·························· 4分
〔2〕 由〔1〕，21n a n =+，那么有2(321)22n n
S n n n =++=+．
那么
11111()(2)22
n S n n n n ==-++． 所以n T 1111
1111
[(1)()()(
)()]232435
112
n n n n 11=-+-+-+
+-+--++ 111
(1)2212n n 1=+--++ 3
4
<． ······························· 12分
18.解：〔1〕由题，756
848077737165,5.36654321=+++++==+++++=--
y t ，
那么
+
--+--+--=---
=-∑)7573)(5.33()7571)(5.32()7565)(5.31()()(1
y y t t
i n
i i
+--)7577)(5.34(
+--)7580)(5.35(63)7584)(5.36(=--.
5
.17)5.36()5.35()5.34()5.33()5.32()5.31()(2222221
2=-+-+-+-+-+-=-∑=-
n
i i
t t
.
那么4.625.36.375,6.35
.1763
=⨯-===∧∧
a b .
所以运动参与y 关于t 的回归方程是4.626.3+=∧
t y .
〔2〕当7=t 时，6.874.6276.3=+⨯=∧
y ，当8=t 时，2.914.6286.3=+⨯=∧
y ， 所以2017年、2018年该“运动参与〞评分值分别2.91,6.87. 19、(本小题满分是12分)
(Ⅰ)证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面互相垂直, ∴AD AB ⊥, ∵矩形ABCD
菱形ABEF AB =, ∴AD ⊥平面ABEF ,
∵AG ⊂平面ABEF , ∴AD AG ⊥,……………………3分
∵菱形ABEF 中,60ABE ∠=,G 为BE 的中点． ∴AG BE ⊥,即
AG AF ⊥……………………5分
∵AD
AF A =, ∴AG ⊥平面ADF ．……………………6分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知,,AD AF AG 两两垂直,以A 为原点,AG 为x 轴,AF 为y 轴,AD 为z 轴,建立空间
直角坐标系,
设
AB ==,那么
31,2
BC AG ==
,故
(0,0,0)A
,3(,,1)22C -,(0,0,1)D ,3(,0,0)2G ,
那么3(,2AC =,(0,0,1)AD =,3(,0,0)2
AG =, 设平面ACD 的法向量1111(,,)n x y z =,
那么11
11113020n AC x y z n AD z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩
,
取1y =得1(1,3,0)n =, 设平面ACG 的法向量2222(,,)n x y z =,
那么22222230230
2
n AC x y z n AG x ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩,取22y =,
得2n =,……………10分
B C
设
二
面
角
D CA G
--的平面角为
θ
,那
么
12122cos ||||2n n n n
θ⋅=
==⋅⨯, ……………11分 易知θ为钝角,∴二面角D CA G --的余弦值为．……………………12分 20. 解：〔Ⅰ〕
抛物线2
2y px =焦点为(20)F ，
，∴22
p
=，4p =. ∴抛物线方程为28y x =....................................................1分
由直线l 过点E F 、知，l 方程为1
12
y x =
-..................................2分 由21128y x y x ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
得23640x x -+=............................................3分 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么1212(,)OA OB x x y y +=++.
∴
||(OA OB x +=
=
=
=分 〔Ⅱ〕设,EM EN 的斜率分别为12,k k ，那么,EM EN 方程分别为11y k x =-，21y k x =-.
由2181
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2211(28)10k x k x -++=① 由2
2
11(28)40k k ∆=+-=得12k =-. 代入①解得12x =
，故1
(,2)2
M -............................................8分 由222(2)41
x y y k x ⎧-+=⎨=-⎩得22
22(1)(24)10k x k x +-++=② 由2
2
22(24)4(1)0k k ∆=+-+=得234
k =-
.
代入②解得45x =
，故48
(,)55N -...........................................10分 241322
FM k ∴=
=
-，845
4325
FN FM k k ===-.
,,M N F ∴三点一共线 (12)
分
21.〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕 函数()f x 无极值，∴)(x f 在R 上单调递增或者单调递减.即0)(≥'x f 或者
0)≤'x f （
在R x ∈时恒成立；又a x e x f x --=')( 令()x
g x e x a =--，那么1)(-='x
e x g ；所以)(x g 在()0-，
∞上单调递减，在()∞+，0上单调递增；
min ()(0)1g x g a ==-
当0)(≥'x f 时，min min ()()10f x g x a '==-≥，即1≤a
当0)≤'x f （
时，显然不成立； 所以实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………5分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，当1a =时，当0x >时，()(0)0f x f >=，即212
x
x e x ->+.
欲证(e 1)ln(1)x
x -+>2x ，只需证2ln(1)2
x
x x +>
+即可. 构造函数()h x =ln(1)x +-
22
x
x +〔0x >〕， 那么2
22
14()01(2)(1)(2)
x h x x x x x '=-=>++++恒成立，故()h x 在(0,)+∞单调递增， 从而()(0)0h x h >=.即2ln(1)02x x x +-
>+，亦即2ln(1)2
x
x x +>+. 得证2
(e 1)ln(1)x
x x -+>. ……………………12分
22.解：〔1〕直线l
的参数方程为122
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕.
由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，得2
4cos ρρθ=，
把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.……………………5分
〔2
〕把122
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C
的方程得223))4-+=，
化简得250t -+=，
设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
那么1
2125t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩∴10t >，20t >，
那么12PA PB t t +=+=……………………
10分
23.解：〔1〕当1a =时，由()2f x >得：2112x x +-->， 故有122112x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩或者1122112
x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或者121(1)2x x x >⎧⎨+-->⎩， ∴4x <-或者
213x <≤或者1x >，∴4x <-或者23
x >， ∴()2f x >的解集为2{|4}3x x x <->或.……………………5分 〔2〕当0a =时1,0()2131,011,1x x f x x x x x x x --<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪+>⎩
，∴min ()(0)1f x f ==-，
由217t t ->--得：2
60t t --<，∴23t -<<，∴t 的取值范围为(2,3)-.……………………10分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。