2020-2021学年度北师大版初三上册数学 4.7：相似三角形中的对应线段之比课件_第1课时课件
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这醉这人醉芬春人芳去芬的春芳季又的节回季，，节愿新，你桃愿生换你活旧生像符活春。像天在春一那天样桃一阳花样光盛阳，开光心的，情地心像方情桃，像在桃 54、欲海不穷内要千存为里知它目已的，结更天束上涯而一若哭层比，楼邻应。当为Tu它es的da开y,始Ju而ly笑1。4, 72.01240.2J0u2ly0270.1T4u.2e0sd2a0y2,0J:3u0ly2104:3,022002:0370/:147/2200:230:17 65、莫天愁生时前命不路的如无成地知长利已，，需地天要利下吃不谁饭如人，人不还和识需。君要。吃8时苦83时，03分吃08分亏时8。3时0T3分u0e1分s4d1-aJ4uy-J,l-uJ2lu0-l27y0.174.1.,2420.02220002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 76、人生谁生命无贵太过相？知短过，暂而何，能用今改金天，与放善钱弃莫。了大明20焉天.7.。不14一2200定.7.7.能1.14得4220到0.7.。7.1.1844时2。03.2700.分12480。时年23700月2分01年144日7-J月星ul1期-42日二07星二.14期〇.2二02二〇0〇年二七〇月年十七四月日十四日
桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，
请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。
（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
C
D
E
B
D
E
相信自己是最 棒的！
B F AA G F
C
（1）
（2）
7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中
小正方形的边长.
A
A
A
A
S ER
练一练
1. ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，
已知
AC A1C1
3 2
,B1D1
=4cm，则BD=
6
cm.
2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分 线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与 ΔA1B1C1的对应高之比为 8:3 .
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影 子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的 距离是3m，则P到AB的距离是 1.5 m.
x 42
6 14
,
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
当堂练习
1．两个相似三角形的相似比为 1 , 则对应高
的比为___12_____,
2
则对应中线的比为___1____.
2
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的
角平分线的比为__2_∶__3__.
420、:3吾敏07生而.1也好4.有学20涯，20，不20而耻:3知下07也问.1无。4.涯。20。72.10742.1.024:03.2200022700.:13740.1.:21407.22700.122400.2:23000:23200022:3000::33200072:3.010:43:1.027:01227002:300:3:107:17
BD
C BD
CBD
C
(1)
(2)
(3)
B PD Q C A
A
A
BD
CB D
CB D
C
(4)
(5)
(1)
亲爱亲的爱读的者读：者： 1、人盛生不年活可不有重相傲来信气，眼，一泪但日，不难眼可再泪无晨并傲。不骨及代。时表宜软20自弱.7.勉。14，270.岁.174.月1.24不072.待1042人.02:。0320。022020:03:.3070:.112740J7:3u.10l-4:21.02720J02u:0l3-200:2300:230:30:17Jul-2020:30 亲爱的读者： 2、人千世生里上自之没古行有谁，绝无始望死于的，足处留下境取。，丹只20心有20照对年汗处7月青境1。绝4日二望星〇的期二人二〇。年二七〇月二十〇四年日七月20十20四年日7月201240日年星7月期1二4日星期二 春去春春去又春回又，回新，桃新换桃旧换符旧。符在。那在桃那花桃盛花开盛的开地的方地，方在，在 3、路少成漫年功漫易都其学永修老远远难不兮成会，言吾一弃将寸，上光放下阴弃而不者求可永索轻远。不。会20成2:300功:370。.174.1.240.220022002:300:370.174.1.240.220022002:300:32002:300:3:107:177.174.1.240.220022002:300:370.174.1.240.220020
花一花样一美样丽美，丽感，谢感你谢的你阅的读阅。读。 87、满勇放招气眼损通前，往方谦天，受堂只益，要。怯我懦们20通继:30往续2地，0:3狱收0。获:17的270.季:1340节.22就00:23在00T前:1u7方e7s.。d1a42y.02,.0J72u.10ly4T12u40e,.s72d.01a24y02, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 花一样美丽，感谢你的阅读。 四日
点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR = 1 BC 时，
求DE的长.如果SR = 1 BC 呢？
2
3
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
A
∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
S
ER
∴△ASR∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
D
C
AE SR (相似三角形对应高的比等于相似比)，
P
2
A
B
4
C
D
典例解析
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，
点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，
AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？
A
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ S E R
(3)求正方形PQRS的边长.
B PD Q C
B'
A' E' C'
D'
∴ △ABD∽△A′B′D′.
相似三角形对应高的比、对应角平分线 的比、对应中线的比都等于相似比．
例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有
似比．
同学们可以试着自己用同样的方 法求证三角形对应边上的角平分 中线的比等于相似比．
验证猜想2
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A'B' B'C ' C ' A'
求证：
A E
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ B
D
C
∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又AD,AD′分别为对应角的平方线
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
A
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似
SE R
B PD Q C
（3）求正方形PQRS的边长.
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC
AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC
A
对应边上的高
∴ AE SR
AD BC
设正方形PQRS的边长为 x cm,
对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为 对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分
线，那么它们之间有什么关系呢？
A
E
A' E'
B
D
C
B'
C'
D'
验证猜想1
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AB BC CA k.
A'B' B'C' C' A'
8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3020:30:177.14.2020Tuesday, July 14, 2020
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
A
∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
AADD
AB AB
k
BD
C
A'
B' D'
C'
归纳总结 类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的 比也等于相似比．
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比．
面积吗？
A
S ER
B PD Q C
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
分析：
A
情况一：SR=2SP
设SP=xcm，则SR=2x cm 得到：10 x 2x
10 5 所以 x=2， 2x=4
S矩形PQRS= 2×4=8cm2
S ER B PD Q C
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
SE R
则SR=DE=x cm, AE=(40-x)cm B P D Q C
∴ 40 x x 解得：x=24
40 60
∴正方形PQRS的边长为24cm.
是方程思想哦！
变式：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R 在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm， 若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的
求证：AD k.
A
A'D'
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
E
∴ ∠B′= ∠B, AB BC ．B
A'B' B'C '
又AD,AD′分别为对应边的中线.
AB BD .
A'B' B'D'
B'
∴ △ABD∽△A′B′D′.
D
C
A' E' C'
D'
AD k. A 'D '
由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相
高
角平分线
中线
量一量，猜一猜
A
D ∟
B
A1
D1
∟
B1
C
C1
ΔABC ∽ ΔA1B1C1,
,CD和C1D1分别是它们
的高, 你知道 等于多少吗？
讲授新课
➢ 相似三角形对应高的比等于相似比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们 对应高的比各是多少？
A
A'
B
C
B'
C'
解：如图，分别作出 △ABC 和
4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
导入新课
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B A1
B1
C C1
△ABC∽ △A1B1C1
A1
B1
A
B
C C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
A
∴ ∠ADC=90° ∵四边形PQRS是正方形
SE R
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高.
B PD Q C
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
1 4
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF
的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF，
A
BG BC EH EF
4.8 6 , EH 4
解得,EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm.G NhomakorabeaB
C
D
H
E
F
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，
AD BC
AD DE SR . AD BC
当
SR
=
1 2
BC
时，得 h DE 1 . 解得DE 1 h.
AD 2
2
当SR = 1 BC
3
时，得h DE 1 . AD 3
解得 DE 2 h.
3
A
S
ER
B
D
C
选做题：
6. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，
面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形
分析：
A
情况二：SP=2SR 设SR=xcm，则SP=2x cm
S ER
得到：10 2x x 10 5
B P DQ C
所以 x=2.5， 2x=5 S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类 思想呀！
➢ 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比 都等于相似比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们
桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，
请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。
（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
C
D
E
B
D
E
相信自己是最 棒的！
B F AA G F
C
（1）
（2）
7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中
小正方形的边长.
A
A
A
A
S ER
练一练
1. ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，
已知
AC A1C1
3 2
,B1D1
=4cm，则BD=
6
cm.
2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分 线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与 ΔA1B1C1的对应高之比为 8:3 .
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影 子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的 距离是3m，则P到AB的距离是 1.5 m.
x 42
6 14
,
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
当堂练习
1．两个相似三角形的相似比为 1 , 则对应高
的比为___12_____,
2
则对应中线的比为___1____.
2
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的
角平分线的比为__2_∶__3__.
420、:3吾敏07生而.1也好4.有学20涯，20，不20而耻:3知下07也问.1无。4.涯。20。72.10742.1.024:03.2200022700.:13740.1.:21407.22700.122400.2:23000:23200022:3000::33200072:3.010:43:1.027:01227002:300:3:107:17
BD
C BD
CBD
C
(1)
(2)
(3)
B PD Q C A
A
A
BD
CB D
CB D
C
(4)
(5)
(1)
亲爱亲的爱读的者读：者： 1、人盛生不年活可不有重相傲来信气，眼，一泪但日，不难眼可再泪无晨并傲。不骨及代。时表宜软20自弱.7.勉。14，270.岁.174.月1.24不072.待1042人.02:。0320。022020:03:.3070:.112740J7:3u.10l-4:21.02720J02u:0l3-200:2300:230:30:17Jul-2020:30 亲爱的读者： 2、人千世生里上自之没古行有谁，绝无始望死于的，足处留下境取。，丹只20心有20照对年汗处7月青境1。绝4日二望星〇的期二人二〇。年二七〇月二十〇四年日七月20十20四年日7月201240日年星7月期1二4日星期二 春去春春去又春回又，回新，桃新换桃旧换符旧。符在。那在桃那花桃盛花开盛的开地的方地，方在，在 3、路少成漫年功漫易都其学永修老远远难不兮成会，言吾一弃将寸，上光放下阴弃而不者求可永索轻远。不。会20成2:300功:370。.174.1.240.220022002:300:370.174.1.240.220022002:300:32002:300:3:107:177.174.1.240.220022002:300:370.174.1.240.220020
花一花样一美样丽美，丽感，谢感你谢的你阅的读阅。读。 87、满勇放招气眼损通前，往方谦天，受堂只益，要。怯我懦们20通继:30往续2地，0:3狱收0。获:17的270.季:1340节.22就00:23在00T前:1u7方e7s.。d1a42y.02,.0J72u.10ly4T12u40e,.s72d.01a24y02, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 花一样美丽，感谢你的阅读。 四日
点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR = 1 BC 时，
求DE的长.如果SR = 1 BC 呢？
2
3
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
A
∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
S
ER
∴△ASR∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
D
C
AE SR (相似三角形对应高的比等于相似比)，
P
2
A
B
4
C
D
典例解析
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，
点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，
AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？
A
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ S E R
(3)求正方形PQRS的边长.
B PD Q C
B'
A' E' C'
D'
∴ △ABD∽△A′B′D′.
相似三角形对应高的比、对应角平分线 的比、对应中线的比都等于相似比．
例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有
似比．
同学们可以试着自己用同样的方 法求证三角形对应边上的角平分 中线的比等于相似比．
验证猜想2
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A'B' B'C ' C ' A'
求证：
A E
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ B
D
C
∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又AD,AD′分别为对应角的平方线
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
A
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似
SE R
B PD Q C
（3）求正方形PQRS的边长.
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC
AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC
A
对应边上的高
∴ AE SR
AD BC
设正方形PQRS的边长为 x cm,
对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为 对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分
线，那么它们之间有什么关系呢？
A
E
A' E'
B
D
C
B'
C'
D'
验证猜想1
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AB BC CA k.
A'B' B'C' C' A'
8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3020:30:177.14.2020Tuesday, July 14, 2020
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
A
∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
AADD
AB AB
k
BD
C
A'
B' D'
C'
归纳总结 类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的 比也等于相似比．
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比．
面积吗？
A
S ER
B PD Q C
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
分析：
A
情况一：SR=2SP
设SP=xcm，则SR=2x cm 得到：10 x 2x
10 5 所以 x=2， 2x=4
S矩形PQRS= 2×4=8cm2
S ER B PD Q C
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
SE R
则SR=DE=x cm, AE=(40-x)cm B P D Q C
∴ 40 x x 解得：x=24
40 60
∴正方形PQRS的边长为24cm.
是方程思想哦！
变式：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R 在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm， 若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的
求证：AD k.
A
A'D'
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
E
∴ ∠B′= ∠B, AB BC ．B
A'B' B'C '
又AD,AD′分别为对应边的中线.
AB BD .
A'B' B'D'
B'
∴ △ABD∽△A′B′D′.
D
C
A' E' C'
D'
AD k. A 'D '
由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相
高
角平分线
中线
量一量，猜一猜
A
D ∟
B
A1
D1
∟
B1
C
C1
ΔABC ∽ ΔA1B1C1,
,CD和C1D1分别是它们
的高, 你知道 等于多少吗？
讲授新课
➢ 相似三角形对应高的比等于相似比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们 对应高的比各是多少？
A
A'
B
C
B'
C'
解：如图，分别作出 △ABC 和
4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
导入新课
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B A1
B1
C C1
△ABC∽ △A1B1C1
A1
B1
A
B
C C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
A
∴ ∠ADC=90° ∵四边形PQRS是正方形
SE R
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高.
B PD Q C
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
1 4
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF
的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF，
A
BG BC EH EF
4.8 6 , EH 4
解得,EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm.G NhomakorabeaB
C
D
H
E
F
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，
AD BC
AD DE SR . AD BC
当
SR
=
1 2
BC
时，得 h DE 1 . 解得DE 1 h.
AD 2
2
当SR = 1 BC
3
时，得h DE 1 . AD 3
解得 DE 2 h.
3
A
S
ER
B
D
C
选做题：
6. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，
面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形
分析：
A
情况二：SP=2SR 设SR=xcm，则SP=2x cm
S ER
得到：10 2x x 10 5
B P DQ C
所以 x=2.5， 2x=5 S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类 思想呀！
➢ 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比 都等于相似比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们