圆周角和圆心角的关系

推论2 同圆或等圆中，
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90 的圆周角所对的弦是直径.
2.填空题: (1)如图所示, ∠BAC= ,∠DAC=∠DBC. ∠BDC
A
D
C
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= cm
B
A
5
●
O C
B
共同分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么?
●
O
C
BC一定是直径
图(2)
∠BEC =90º
∠BFC =90º
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2：
同圆或等圆中，
用于构造直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某条弦 是否是直径
圆周角定理的推论：
推论1
想一想
同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.

驶向胜利 的彼岸
老师提示:能否也转化为1的情况?
C


过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = ∠COD, 2
B
●
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
在同圆中 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理
即
A C
●
驶向胜利 的彼岸
●
驶向胜利 的彼岸
即
你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
1 ∠ABC = ∠AOC. 在同圆中 2
议一议
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A D

驶向胜利 的彼岸
老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2
●
C

O
∠ABD =
=
1 ∠COD, 2
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
你能写出这个命题吗?
在同圆中 同弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半.
议一议
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O A O'
B' A'
O A
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 对应的两条弧、对应的两条弦 对应的两条弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等，所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
A C
●
A
A C C B
●
O
B
●
O
O
B

教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
议一议
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C ∵∠AOC是△ABO的外角， 老师期望: ∴∠AOC=∠B+∠A. 你可要理 O ∵OA=OB， 解并掌握 ∴∠A=∠B. 这个模型. B ∴∠AOC=2∠B.
AC AD AE AB
△ADC∽ △ABE
或△ACE∽
B E
O D
C
△ADB
O
A B
C
D C A O1 O B
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论
2、本节课我们学习了哪些方法？
引辅助线的方法： （1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都在 ⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · = AE · AC AD
分析：要证AB · = AE · AC AD A
则∠ACB=_ __。
260°
O
B
A C
130°
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E
●
A E B D
C
O
C
B D
新知探究1
⌒ 如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周 角,这些个角的大小有什么关系?为什么? ⌒ ⌒ 如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小 有什么关系?为什么? C
3.3 圆周角和圆心角的 关系(1)
驶向胜利 的彼岸
• 探索圆周角和圆心角的关系 • 理解圆周角和圆心角的概念及性质 • 体会分类归纳等数学方法
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角.
B
O
.
C
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O A O'
B' A'
O A
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等
A
●
O
C
D
B
课堂练习
• • • • • 1.判断题： （1）等弧所对的圆周角相等. （ √） （2）相等的圆周角所对的弧也相等.（ X ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ X） （4）同弦所对的圆周角相等. （ X）
A
B C
C
O
A
O E
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
• 圆周角定理 :在同圆中 • 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B

老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
B
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C
120°
60°
O
.
B
C
70° x
35°
A
A
120°
O X
.
B
m
2.如图，圆心角∠AOB=100°，源自O B C它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC A 和圆周角∠BAC是同对一条弧。 A
O D
O B
同一条弧
A
C
A
不同弧
A O
B 不同弧 C
O B C 同一条弧
O C 不同弧不同弧 B D
C B 同一条弧
议一议
同弧所对圆周角和圆心角的关系
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系? • 说说你的想法,并与同伴交流.
A
G
E
●
O
C
A B
B
O F E 图2
D
图1 ∠AEC= ∠ABC= ∠ADC
∠ACB= ∠EGF
新知探究2
驶向胜利 的彼岸
⌒ AB EF 如图,圆中∠C=∠G,那么 ⌒ 和 的大小 有什么关系?为什么? C
G
⌒= ⌒ AB EF
A B
O F E
由此你又能得出什么结论?
圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，
用于找相 等的角
同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相 等的弧
问题讨论 1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过 圆心O吗？为什么？
A
E A
B
∠BAC =90º
O 图(1)
F
C
B
A B
●
O C
E
转换灵活的圆中角
圆周角、圆心角;同圆两角转换活;
角看弧,弧看角;同弧连着两个角 直角对弦是直径；直径一定对直角.
由
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 OC垂直平分AD ; (1)OC与AD的位置关系是_____ (2)OC与BD的位置关系是_____ ; 平行 4 (3)若OC = 2cm,则BD = __ cm。
B O
.
C
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
特征：
A
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. B
O C
.
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
不 是
是
不 是
是
不 是
不 是
不 是
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？