黑龙江省哈尔滨六中10-11学年高二上学期期末考试(数学理)

哈尔滨市第六中学2010—2011学年度上学期期末考试
高二（理科）数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（每题5分共60分）
1.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2. 下列命题中的假命题是
A ． B., C ．, D.,
3.由曲线和直线围成图形的面积是 （ ） A ．3 B ． C ． D ．
4. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则
5. 函数在(0,1)内有极小值，则实数的取值范围是( )
A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3) 6设双曲线的半焦距为C ，直线L 过两点，已知原点到直线L 的距离为，则双曲线的离心率为
A. 2
B. 2或
C.
D. 7. 已知向量，则与的夹角为 （ ）
A ． 0°
B ． 45°
C ． 90°
D ．180°
8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（ ）
A ．30º
B ．45º
C ．60º
D ．150º 9.函数在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（ ）
A. 5,-15
B. 5,-4
C. -4,-15
D. 5,-16 10.已知直线与曲线相切，则的值为( )
A.1
B. 2
C.-1
D.-2 11.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A.1 B. C.2 D.3 12. 设，若函数，有大于零的极值点，则（ ） A ． B ． C ． D ．
二．填空题：（每题5分共20分）
13.如图，已知一四棱锥的主视图、左视图都是等腰直角三角形，俯
视图是正方形，则该四棱锥的体积为 14. 函数的单调递增区间是 ． 15.已知，则函数的最大值为
16. 如图，矩形ABCD 中，DC=，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 . 三．解答题
17. 已知函数，其中为实数.
(Ⅰ) 若在处取得的极值为，求的值;
（Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.(10分)
18. 如图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=600
，AB=2，PA=1,PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点。

(12分) （1）求证：BE ∥平面PDF ； （2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ； （3）求二面角的大小。

19. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．(12分) （I ）求的取值范围；
（II ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
F E D C
B A
P
20.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG. (12分)
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
21.已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。

(12分)
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。

求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

22. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．(12分)
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
高二理科期末考试数学答案
一、选择题：（每题5分共60分）
二．填空题：（每题5分共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解 (Ⅰ)由题设可知:
且，……………… 2分
即，解得……………… 4分
（Ⅱ），
又在上为减函数，
对恒成立，……………… 6分
即对恒成立.
且，……………… 8分
即，
的取值范围是……………… 10分
18.证明：（1）取PD中点为M，连ME，MF ∵ E是PC的中点∴ ME是△PCD的中位线
∴ MECD ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD
∴ MEFB ∴四边形MEBF是平行四边形∴ BE∥MF
∵ BE平面PDF ,MF平面PDF ∴ BE∥平面PDF ………4分
（2）∵ PA⊥平面ABCD DF平面ABCD ∴ DF⊥PA ……………5分
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=600∴△DAB为正△
∵ F是AB中点∴ DF⊥AB
∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线∴ DF⊥平面PAB
∵ DF平面PDF ∴平面PDF⊥平面PAB ………………8分
(3)过点做延长线于，因为面，所以，既为二面角的平面角，………………9分
在中，所以
既二面角的大小为。

………………12分
19.（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得整理得①……………2分
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，……3分
解得或．即的取值范围为．……5分
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．②
又．③
而．
所以与共线等价于，……8分
将②③代入上式，解得．……10分
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．……12分
20.解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），
设G（0，2，h），则
∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中点. ……………………6分
（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则
所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）…………………8分
∵
∴，即AC1与平面EFG所成角为………………………12分
解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.
又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.
∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.
又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.
连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.
∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点. …………………6分
（Ⅱ）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，
∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，
C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M，
∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ. 因为…………………12分
21.（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得………………………………………
2分
∵且的面积为1
∴,
∴
∴………………………………………4分
∴双曲线C的标准方程为。

………………………………………5分
（2）设，联立得
显然否则直线与双曲线C只有一个交点。

即
则……………………………8分
又
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)
∴即
∴
∴
化简整理得
∴，且均满足
当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当时，直线的方程为，直线过定点（，0）
∴直线定点，定点坐标为（，0）。

……………………………12分22.（1）依题可设()，则；
又的图像与直线平行
，，…………2分
设，则
………………4分
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，解得
当时，解得………………6分
（2）由 ()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即
；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
函数有一零点
综上，
①当时, 函数有一零点；
②当 ()，或（）时，
函数有两个零点；
③当时，函数有一零点.………………12分。