数学解题中的整体策略

数学解题中的整体策略
闵 俊
(山东省邹城一中,山东　273500)
中图分类号:O12-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)08-0024-02
收稿日期:2000-11-06
作者简介:闵俊(1967—
),男,山东省邹城市人,山东邹城一中一级教师,学士. 整体策略是将问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式,整体结构,寻求简捷解法的数学解题策略.1　整体换元
把条件或结论中的式子看作一个整体、并用一字母替代,使问题顺利得到解决.
例1　解不等式4x 2-10x +
2x 2-5x +2>17.
分析:若将此不等式变形为2x 2-5x +2>-4x 2+10x +17
通过讨论来解这个无理不等式将十分困难.若将2x 2-5x +2看成一个整体进行换元,问题较容易解决.
解　设2x 2-5x +2=y (y ≥0),原不等式可化为2y 2
+y -21>0.解得y <-7
2
(舍)或y >3.∴
2x 2-5x +2>3.
即2x 2-5x +2>9.∴x <-1或x >7
2
.
故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(
7
2
,+∞
).2　整体联想
整体联想是指充分挖掘问题的内在联系,从分析问题的整体形象或整体结构出发,整体联想熟悉问题.
例2　已知a ,b ∈R +,2c >a +b.求证:1)c 2>ab ;2)c -c 2-ab <a <c +
c 2-ab.
分析:因为本题要证两个不等式,第一个不等式即为c 2-ab >0,它的左边象一个方程的根的判别式,第二个不等式即
c -c 2-ab a
<1<
c +
c 2-ab
a
,它的两边
象一个方程的两个根,因此整体联想到方程及其对应的二次函数.
证　1)构造函数f (x )=ax 2-2cx +b.∵a >0,∴函数的图象开口向上.又∵2c >a +b ,∴f (1)=a +b -2c <0,
故抛物线与x 轴在x =1两边有两个交点.　
42数学通讯 2001年第8期
∴Δ=4c2-4ab>0,即c2>ab.
2)解ax2-2cx+b=0得
x1=c-c2-ab
a
,x2=
c+c2-ab
a
.
由x1<1<x2得
c-c2-ab<a<c+c2-ab.
3　整体变形
有些数学问题,其数量关系特殊,用常规方法直接解较难,这时可以根据整体结构的特殊性,对其进行整体变形.
例3　已知f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
分析:常规思路是通过求a,b的取值范围,再求f(-2)的取值范围.即
由1≤a-b≤2, 2≤a+b≤4.
得3
2≤a≤3,0≤b≤3
2.
∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0,
∴3≤4a-2b≤12.
也就是3≤f(-2)≤12.
这个结果是错误的,上面所作的变形不是等价的,本题应进行整体变形.
解　设f(-2)=A f(-1)+B f(1),
即4a-2b=A(a-b)+B(a+b).
∴4=A+B,
-2=-A+B,
得
A=3,
B=1.
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10.
故5≤f(-2)≤10.
4　整体配对
将原问题视为一个整体,采用配对策略,构造对称式,再通过两式的合成运算,使问题获解.
例4　求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
分析:该题是三角函数求值,根据正余弦函数互余的性质,整体地改造原函数式为其对偶式,然后整体求解.
解　令A=sin220°+cos250°+sin20°・cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°.
则A+B=2+sin70°(1)
　A-B=-sin70°-
1
2
(2)
由(1)+(2)得2A=3
2,
即A=3
4.
∴sin220°+cos250°+sin20°cos50°=3
4.
5　整体代入
整体代入就是将若干个式子的组合看作一个整体,直接(或适当变形)代入另一个式子可以避免复杂的运算.
例5　长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,求长方体的一条对角线长.
分析:若先求长方体的长、宽、高,再求对角线,条件不够,这里应注意整体代入.
解　设长方体的长、宽、高分别为a,b, c,对角线长为l.
则2ab+2bc+2ca=11,
4a+4b+4c=24,即a+b+c=6.
l=a2+b2+c2
=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=36-11=5.
∴长方体的一条对角线长为5.
综上所述,整体策略是一种较高级的思维活动,它具有思维的简缩性和跳跃性,能提高解题的速度和准确性.
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2001年第8期 数学通讯。