第八讲：最优控制模型及理论(2016)
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s a
s x (t ) s va (t ) a ca (t )
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
min J xa (t )dt
T u ,s a 0
交通流的总量达最小
s dxa (t ) s s s.t. ua (t ) va (t ), a, s, t dt
aAl
实例 4
嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略
(1)着陆准备轨道
(2)主减速段 (3)快速调整段 (4)粗避障段 (5)精避障段 (6)缓速下降阶段
燃料消耗达最小
(t )dt m (t )dt m (t )dt m (t )dt m (t )dt m (t )dt min J m
对 的导数在 0 的值。即
J J [ x(t ) x(t )] | 0 L[ x (t ) x (t )]
其中 x(t ) x(t ) x0 (t )
定理2 如果可微泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t )上达到极大或极 小，则
在x(t ) x0 (t )上有J 0
最优控制模型的基本原理
2. 最优控制问题求解（有约束）
把具有状态方程约束的变分问题转化为无约束变
分问题。即转换为哈密顿函数的极值问题。
最优控制模型的基本原理
1）固定端点的最优控制问题
状态方程：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
J = L( x(s), u(s), t )ds
3. 交通流量的控制模型；
4. 导弹运行最佳轨迹。
……
最优化问题
建立数学模型分为三步骤：
（1）需要确定状态变量、控制变量、约束、目标；
（2）对问题具体分析、数学描述和研究；
（3）研究算法，并对算法的收敛性、误差、有效性
作出评价。
最优控制模型的数学描述
1）状态方程组 (t ) f ( x(t ), u(t ), t ) x
2）可变端点的变分问题
(s), t )ds J = L( x( s), x
t0 tf
给定曲线 x(t f ) (t f )
取极值的必要条件是容许极值曲线 x* (t ) 满足欧拉方程
L d L 0 x dt x
始端边界条件和终端横截条件：
x(t0 ) x0 ,
T L L [ x , x , t ] ( x ) 0 t t x f
v (t ) g (t ) u (t ),
s a s l aBl s a
l s, s, t
s s xa (t ) 0, ua (t ) 0, a, s, t s xa (0) 0, a, s
s xa (t ) v (t ) , a, s, t ca (t ) s a
终端时刻和状态可以是自由的，也可以是给定的。 目标集：
N[ x(t f ), t f ] 0,或N [x(t f ), t f ] 0
最优控制模型的数学描述
4）目标函数 最少燃料、最少时间，最小能耗等控制问题。
控制变量用于控制状态的转移过程，效果的好 坏取决于u(t)，效果——性能指标.
最优控制模型的数学描述
S (0) S0 , A(0) A0 , I (0) I0 ,C (0) C0
实例 3
路径选择的交通流量的最优控制模型
大连交通大学学报[J], 31(6), 2010
城市机动车拥有量以及各种交通 需求量急剧上升，城市道路所承 受的负荷不断增长，给城市管理 和人民生活都带来了巨大的考 验．
t0 tf
泛函指标：
构造哈密顿函数：
H[ x(t ), u(t ), t ] L[ x(t ), u(t ), t ] T f [ x(t ), u(t ), t ]
最优控制模型的基本原理
1）固定端点的最优控制问题
最优解 x* (t ), * (t ), u* (t ) 满足以下方程和条件： 正则方程： 控制方程：
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
（2）非负约束
s s s xa (t ) 0, ua (t ) 0, va (t ) 0, a, s, t
xa (t ) 0, ua (t ) 0, va (t ) 0, a, t
边界条件： vs (0) 0, a, s a （3）流量守恒约束
F cos dvx dt m t m m1 md 0 F v m e
设计控制参数k1，k2，使
F Fmax k1t cos cos 0 k2t
最优控制模型的基本原理
1. 最优控制中的变分法（无约束）
在动态最优化问题中，目标函数通常是一个泛函。
泛函可以简单地理解为“函数的函数”。
( s), t )ds J [ x(t )]= L( x( s), x
0 T
最优控制模型的基本原理
1. 最优控制中的变分法（无约束） 定理1 连续泛函
J [ x(t )]
的变分，等于泛函
J [ x(t ) x(t )]
最优控制模型的基本原理
1）固定端点的变分问题
(s), t )ds J = L( x( s), x
t0 tf
取极值的必要条件是容许极值曲线 x* (t ) 满足欧拉方程
L d L 0 x dt x
边界条件：x(t0 ) x0 , x(t f ) x f
最优控制模型的基本原理
状态随时间 的变化率 机理分析
实例 2
计算机病毒传播的最优控制模型
控制集：
U {u(t ) L2 (0, T ) : 0 u (t ) 1,0 t T }
目标泛函：感染数量
T 0
系统消耗 min
J (u) [ I (t ) u2 (t ) / 2]dt
初始条件：
t 表示时间 x(t ) 表示 n维状态向量 u(t ) 表示 r维控制向量
2）容许控制集
U {(u1 (t ), u2 (t ),..., ur (t )) | ui (t ) mi , i 1, 2,..., r}
最优控制模型的数学描述
3）边界条件与目标集
动力系统的运动过程，就是系统从一个状态转移 到另一个状态的过程，在状态空间中其运动轨迹将 形成曲线x(t). 边界值：初始状态x(t0), 终端状态x(tf)
第三步 回代，得到 u* (t )=u( x* (t ), * (t )) u (t )
实例 1
山羊放牧系统中的最优控制模型及生态经济效益
草原放牧生态系统模型：
dx(t ) F ( x) u (t ) dt x(0) x0
放牧总利润： max J (u) e t [ P C ( x)]u(t )dt
实例 2
计算机病毒传播的最优控制模型
状态方程组：
ln I dS dt S ln A S ln A， dA S ln A C ln A u (t ) I ln A， 1 dt dI C u (t ) I ln A， 2 dt dC ln I S 1C ln A 2C ln A dt
dx(t ) F ( x) u (t ) dt x(0) x0
x(t )表示 t时刻牧场种群数量 u(t )表示 t时刻畜牧类采食量 F ( x)表示 牧草的增长率
放牧总利润： max J (u) e t [ P C ( x)]u(t )dt
(t ) x H (t ) H , x
H 0 u
边界条件： x(t0 ) x0
x(t f ) x f
一般的计算步骤
第一步 构造哈密顿函数
H[ x(t ), u(t ), t ] L[ x(t ), u(t ), t ] T f [ x(t ), u(t ), t ]
（1）基本约束
s 流入率：ua (t ) ua (t ), a, t s
s 流出率：va (t ) va (t ), a, t s
s 流量：xa (t ) xa (t ), a, t s
路段 a (l , m) 的状态方程
s dxa (t ) s s ua (t ) va (t ), a, s, t dt
4）目标函数
(1)Bolza
J [u(t f )] ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
t0 tf
(2) Lagrange
J [u(t f )] L( x(t ), u(t ), t )dt
t0 tf
能控性和能观测性的概念
1960年卡尔曼最先提出能控性和能观测性的概
念。对于一个控制系统，特别是多变量控制系统，
必须要回答的两个问题是： （1）能控性：在有限的时间内，控制作用能否使得 系统从初始状态转移到要求的状态？ （2）能观测性：在有限的时间内，能否通过对系统 的输出的测定来评估系统的初始状态？
实例 1
山羊放牧系统中的最优控制模型及生态经济效益
草原放牧生态系统模型：
其中cos e a cos cos
引入角度修正因子ea cos
使得 cos cos
a [0.08,0.09], a 0.086
实例 4
嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略
(3)快速调整阶段的最优控制策略 根据牛顿第二定律，建立飞行器水平方向上的动力学方程
由 H 0，解出 u
u* (t )=u( x, )
第二步 将最优控制变量代入正则方程中
(t ) f [ x(t ), u ( x, ), t ], x(t0 ) x0 x H ( t ) , x(t f ) x f x
解出 x* x* (t )，* * (t )
0
实例 2
计算机病毒传播的最优控制模型
计算机应用研究[J],28(8),2011 状态变量 S(数量) C(数量) I(数量) A(数量) 当前 没有感染 沾染病毒 感染 不被感染 状态转移因子 参数 α β1，ω β2 u(t) 含义 沾染率 免疫率 感染率 杀毒率 以后 可能感染 发现 传播 不被感染
最优控制模型、理论及算法
主讲：刘琼荪
主要内容
最优控
静态与动态，离散与连续 最优化问题的实质就是利用数学工具在容许控制 集中寻找一个最优控制函数或者最优控制方案，使所 研究的系统能够最优地达到预期的目标。
最优化问题
1. 病毒的传播模型；
2. 海洋生态平衡模型；
aAl s s s v ( t ) g ( t ) u a a (t ), l s, s, t l aBl
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
（4）先进先出原则
不考虑超车现象
（5）流量传播约束
假定交通流为连续流
x (t )
s a t ca ( t ) t
v ( )d , a, s, t
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t2 t3 t4 t5 t6 t7
实例 4
嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略
(2)主减速段
dvx F dt m cos dv F y sin g dt m t m m0 0 mdt a cos cos e cos
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型 智能交通运输系统(以下简称ITS)具有先进的 检测、通信、计算机系统集成控制技术，它能最大 限度地发挥现有交通基础设施的潜力，提高运输效 率，改进交通安全，缓解城市交通拥挤，节约能源 的消耗，保护周围环境，……．
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
s x (t ) s va (t ) a ca (t )
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
min J xa (t )dt
T u ,s a 0
交通流的总量达最小
s dxa (t ) s s s.t. ua (t ) va (t ), a, s, t dt
aAl
实例 4
嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略
(1)着陆准备轨道
(2)主减速段 (3)快速调整段 (4)粗避障段 (5)精避障段 (6)缓速下降阶段
燃料消耗达最小
(t )dt m (t )dt m (t )dt m (t )dt m (t )dt m (t )dt min J m
对 的导数在 0 的值。即
J J [ x(t ) x(t )] | 0 L[ x (t ) x (t )]
其中 x(t ) x(t ) x0 (t )
定理2 如果可微泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t )上达到极大或极 小，则
在x(t ) x0 (t )上有J 0
最优控制模型的基本原理
2. 最优控制问题求解（有约束）
把具有状态方程约束的变分问题转化为无约束变
分问题。即转换为哈密顿函数的极值问题。
最优控制模型的基本原理
1）固定端点的最优控制问题
状态方程：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
J = L( x(s), u(s), t )ds
3. 交通流量的控制模型；
4. 导弹运行最佳轨迹。
……
最优化问题
建立数学模型分为三步骤：
（1）需要确定状态变量、控制变量、约束、目标；
（2）对问题具体分析、数学描述和研究；
（3）研究算法，并对算法的收敛性、误差、有效性
作出评价。
最优控制模型的数学描述
1）状态方程组 (t ) f ( x(t ), u(t ), t ) x
2）可变端点的变分问题
(s), t )ds J = L( x( s), x
t0 tf
给定曲线 x(t f ) (t f )
取极值的必要条件是容许极值曲线 x* (t ) 满足欧拉方程
L d L 0 x dt x
始端边界条件和终端横截条件：
x(t0 ) x0 ,
T L L [ x , x , t ] ( x ) 0 t t x f
v (t ) g (t ) u (t ),
s a s l aBl s a
l s, s, t
s s xa (t ) 0, ua (t ) 0, a, s, t s xa (0) 0, a, s
s xa (t ) v (t ) , a, s, t ca (t ) s a
终端时刻和状态可以是自由的，也可以是给定的。 目标集：
N[ x(t f ), t f ] 0,或N [x(t f ), t f ] 0
最优控制模型的数学描述
4）目标函数 最少燃料、最少时间，最小能耗等控制问题。
控制变量用于控制状态的转移过程，效果的好 坏取决于u(t)，效果——性能指标.
最优控制模型的数学描述
S (0) S0 , A(0) A0 , I (0) I0 ,C (0) C0
实例 3
路径选择的交通流量的最优控制模型
大连交通大学学报[J], 31(6), 2010
城市机动车拥有量以及各种交通 需求量急剧上升，城市道路所承 受的负荷不断增长，给城市管理 和人民生活都带来了巨大的考 验．
t0 tf
泛函指标：
构造哈密顿函数：
H[ x(t ), u(t ), t ] L[ x(t ), u(t ), t ] T f [ x(t ), u(t ), t ]
最优控制模型的基本原理
1）固定端点的最优控制问题
最优解 x* (t ), * (t ), u* (t ) 满足以下方程和条件： 正则方程： 控制方程：
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
（2）非负约束
s s s xa (t ) 0, ua (t ) 0, va (t ) 0, a, s, t
xa (t ) 0, ua (t ) 0, va (t ) 0, a, t
边界条件： vs (0) 0, a, s a （3）流量守恒约束
F cos dvx dt m t m m1 md 0 F v m e
设计控制参数k1，k2，使
F Fmax k1t cos cos 0 k2t
最优控制模型的基本原理
1. 最优控制中的变分法（无约束）
在动态最优化问题中，目标函数通常是一个泛函。
泛函可以简单地理解为“函数的函数”。
( s), t )ds J [ x(t )]= L( x( s), x
0 T
最优控制模型的基本原理
1. 最优控制中的变分法（无约束） 定理1 连续泛函
J [ x(t )]
的变分，等于泛函
J [ x(t ) x(t )]
最优控制模型的基本原理
1）固定端点的变分问题
(s), t )ds J = L( x( s), x
t0 tf
取极值的必要条件是容许极值曲线 x* (t ) 满足欧拉方程
L d L 0 x dt x
边界条件：x(t0 ) x0 , x(t f ) x f
最优控制模型的基本原理
状态随时间 的变化率 机理分析
实例 2
计算机病毒传播的最优控制模型
控制集：
U {u(t ) L2 (0, T ) : 0 u (t ) 1,0 t T }
目标泛函：感染数量
T 0
系统消耗 min
J (u) [ I (t ) u2 (t ) / 2]dt
初始条件：
t 表示时间 x(t ) 表示 n维状态向量 u(t ) 表示 r维控制向量
2）容许控制集
U {(u1 (t ), u2 (t ),..., ur (t )) | ui (t ) mi , i 1, 2,..., r}
最优控制模型的数学描述
3）边界条件与目标集
动力系统的运动过程，就是系统从一个状态转移 到另一个状态的过程，在状态空间中其运动轨迹将 形成曲线x(t). 边界值：初始状态x(t0), 终端状态x(tf)
第三步 回代，得到 u* (t )=u( x* (t ), * (t )) u (t )
实例 1
山羊放牧系统中的最优控制模型及生态经济效益
草原放牧生态系统模型：
dx(t ) F ( x) u (t ) dt x(0) x0
放牧总利润： max J (u) e t [ P C ( x)]u(t )dt
实例 2
计算机病毒传播的最优控制模型
状态方程组：
ln I dS dt S ln A S ln A， dA S ln A C ln A u (t ) I ln A， 1 dt dI C u (t ) I ln A， 2 dt dC ln I S 1C ln A 2C ln A dt
dx(t ) F ( x) u (t ) dt x(0) x0
x(t )表示 t时刻牧场种群数量 u(t )表示 t时刻畜牧类采食量 F ( x)表示 牧草的增长率
放牧总利润： max J (u) e t [ P C ( x)]u(t )dt
(t ) x H (t ) H , x
H 0 u
边界条件： x(t0 ) x0
x(t f ) x f
一般的计算步骤
第一步 构造哈密顿函数
H[ x(t ), u(t ), t ] L[ x(t ), u(t ), t ] T f [ x(t ), u(t ), t ]
（1）基本约束
s 流入率：ua (t ) ua (t ), a, t s
s 流出率：va (t ) va (t ), a, t s
s 流量：xa (t ) xa (t ), a, t s
路段 a (l , m) 的状态方程
s dxa (t ) s s ua (t ) va (t ), a, s, t dt
4）目标函数
(1)Bolza
J [u(t f )] ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
t0 tf
(2) Lagrange
J [u(t f )] L( x(t ), u(t ), t )dt
t0 tf
能控性和能观测性的概念
1960年卡尔曼最先提出能控性和能观测性的概
念。对于一个控制系统，特别是多变量控制系统，
必须要回答的两个问题是： （1）能控性：在有限的时间内，控制作用能否使得 系统从初始状态转移到要求的状态？ （2）能观测性：在有限的时间内，能否通过对系统 的输出的测定来评估系统的初始状态？
实例 1
山羊放牧系统中的最优控制模型及生态经济效益
草原放牧生态系统模型：
其中cos e a cos cos
引入角度修正因子ea cos
使得 cos cos
a [0.08,0.09], a 0.086
实例 4
嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略
(3)快速调整阶段的最优控制策略 根据牛顿第二定律，建立飞行器水平方向上的动力学方程
由 H 0，解出 u
u* (t )=u( x, )
第二步 将最优控制变量代入正则方程中
(t ) f [ x(t ), u ( x, ), t ], x(t0 ) x0 x H ( t ) , x(t f ) x f x
解出 x* x* (t )，* * (t )
0
实例 2
计算机病毒传播的最优控制模型
计算机应用研究[J],28(8),2011 状态变量 S(数量) C(数量) I(数量) A(数量) 当前 没有感染 沾染病毒 感染 不被感染 状态转移因子 参数 α β1，ω β2 u(t) 含义 沾染率 免疫率 感染率 杀毒率 以后 可能感染 发现 传播 不被感染
最优控制模型、理论及算法
主讲：刘琼荪
主要内容
最优控
静态与动态，离散与连续 最优化问题的实质就是利用数学工具在容许控制 集中寻找一个最优控制函数或者最优控制方案，使所 研究的系统能够最优地达到预期的目标。
最优化问题
1. 病毒的传播模型；
2. 海洋生态平衡模型；
aAl s s s v ( t ) g ( t ) u a a (t ), l s, s, t l aBl
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型
（4）先进先出原则
不考虑超车现象
（5）流量传播约束
假定交通流为连续流
x (t )
s a t ca ( t ) t
v ( )d , a, s, t
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t2 t3 t4 t5 t6 t7
实例 4
嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略
(2)主减速段
dvx F dt m cos dv F y sin g dt m t m m0 0 mdt a cos cos e cos
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型 智能交通运输系统(以下简称ITS)具有先进的 检测、通信、计算机系统集成控制技术，它能最大 限度地发挥现有交通基础设施的潜力，提高运输效 率，改进交通安全，缓解城市交通拥挤，节约能源 的消耗，保护周围环境，……．
实例 3
动态路径选择的交通系统最优控制模型