天津第二中学高三数学理模拟试题含解析

天津第二中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )
A.若,则
B.若,则
C.若则
D.若,则
参考答案：
C
2. 设，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
3. 在长方体中，，则直线与所成的角的正切值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
4. 已知是等比数列，，则公比ｑ＝ ( )
A．－ B．－2 C．2 D．
参考答案：
D
略
5. 已知i是虚数单位，复数(2+ i)2的共轭复数虚部为（）
A． 4i B．-4 C．3 D．4参考答案：
B
6. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（C U A）∩B等于
A．[－1，3）B．（0，2] C．（1，2]
D．（2，3）
参考答案：
B
7. 若，且，则下列不等式中恒成立的是……………（）
．．．．
参考答案：
8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（）
A．3 B． C． D．3
参考答案：
B
将c2＝（a－b）2＋6化为，由余弦定理及C＝，得，解得
；由三角形的面积公式，得△ABC的面积；故选B．
考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式．
9. 已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.3
参考答案：
C
略
10. 已知是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是( )
A、B、C、D、
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
已知是两个不同平面，是两条不同直线，下面四个命题：
（1）若，则。

（2）若，则。

（3）若，则。

（4）若，则。

其中正确命题的序号是
参考答案：
答案:（1）（2）（3）（4）
12. 如图是美职篮某新秀在五场篮球比赛中所得分数的茎叶图,则该新秀在这五场比赛中得分的方差为_________.
(注:方差,其中为的平均数)
参考答案：13. 已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =＿＿＿参考答案：
1
14. 若，则
cos2α=
．
参考答案：
考点：二倍角的余弦．
专题：计算题．
分析：把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．
解答：解：因为sinα=，
所以cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故答案为：．
点评：通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．
15. 在复平面内，复数对应的点位于第_______象限
参考答案：
一
略
16. 设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N}，则A ∩B ＝ ．
参考答案：
{1}
17. 已知两个圆C 1，C 2与两坐标系都相切，且都过点(1,－2)，则
．
参考答案：
由题意，得圆的圆心在射线
上，
设圆的方程为，
因为圆过点(1,
－2)， 所以
， 解得a=1或a=5， 即，
则．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线：，则曲线被直线
所截得的弦长为 ．
参考答案：
略
19. 已知函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数对任意满足
，求证：当时，
；
（Ⅲ）若
，且
，求证：
参考答案：
略
20. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，，
，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，
抽取次序，样本的相关系数.
（1）求的相关系数r，并回答是否可以认为这一年生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小，（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在之外的数据成为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）.
参考答案：
（1）认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；
（2）①需对当天的生产过程进行检查；②0.09.
【分析】
（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；
（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；
（ii）代入公式计算即可．
【详解】(1)因为1，2，3，…，16的平均数为8.5，
所以样本(x i，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r＝＝≈－0.178，
所以|r|＝0.178＜0.25，
所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
(2)①－3s＝9.97－3×0.212＝9.334，＋3s＝9.97＋3×0.212＝10.606，
第13个零件的尺寸为9.22，9.22＜9.334，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查．
②剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为＝＝10.02，
标准差s＝＝≈0.09.
21. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数）.以坐标原点O 为原
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点为P，过点P作倾斜角为的直线m与曲线C交于A，B两点，求
的最大值.
参考答案：
（1），；（2）2
【分析】
（1）由得曲线C的普通方程为：y2＝1，由ρsin（θ）得ρ
（sinθcosθ），得直线l的直角坐标方程为：x+y﹣1＝0；（2）先求出直线l的参数方程的标准形式，并利用参数t的几何意义可得．
【详解】（1）因为直线的极坐标方程为，所以
因为曲线参数方程为（为参数），所以曲线
（2）由得，设直线的参数方程为（为参数）
代入曲线得，易知
因
，，
所以
故得到：以当时，的最大值为.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数中t的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.
22. （本小题满分13分）
设函数（）．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对任意及任意，，恒有成立，求实数的取值范围．
参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．B11 B12
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
解析：（Ⅰ）函数的定义域为，当时，令
，当时，；当时，，单调递减，在单调递增，，无极大值；…… 4分
（Ⅱ）
………………5分
①时，,在单减，单增；
②时，，在单增，在单减，单增；③当
即时，上是减函数；④当，即时，令
，得,令，得
……………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，上单调递减，当时，有最大值，当
时，有最小值，，，
而经整理得．……13分
【思路点拨】（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的
最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围．。