【立体设计】高考数学 第5章 第4节 数列的综合应用知识研习课件 文 (福建版)
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(1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝a2n－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 因为 a3＝7，a5＋a7＝26，所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得 a1＝3，d＝2. 因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
A．a·1.1n－nb B．a·1.1n－10b(1.1n－1) C．n(1.1a－1) D．1.1n(a－b) 解析：面积为1.1na－1.1n－1b－…－b ＝1.1na－10b(1.1n－1)． 答案：B
4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋ bx＋c的图象与x轴公共点的个数为________．
(2)因为 an＝2n＋1， 所以 a2n－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝4nn1＋1＝14(1n－n＋1 1)． 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1) ＝14(1－n＋1 1)＝4nn＋1. 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
当 a＝ 2时，bn＝(2n＋2)( 2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2.
Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，① 2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋ (n＋1)·2n＋3.②
①－②得
－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2411－－22n－1－(n＋1)2n＋3 ＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.
＝a×11..116－－11＝10a(1.16－1)(元)． 因为 105×1.16＝10a(1.16－1)， 所以 a＝110.41×6－1.116＝110.47×711.67－7116≈22 960(元)． 所以每年年底应支付 22 960 元．
考点二 数列的实际应用
【案例2】 假设某市2004年新建住房400万平方米，其 中有250万平方米是廉低价房．预计在今后的若干年内，该 市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建 住房中，廉低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么， 到哪一年年底，
考点四 数列求和问题
【案例 4】
设
f(x)＝4x4＋x 2，求
S＝f2
0102＋f2
0202＋…
＋f22 000012的值．
关键提示：通过观察2 0102，2 0202，…，22 000012的特点，
结合研究函数 f(x)满足 f(x)＋f(1－x)＝1，最后用倒序相加法
求和．
解：因为 f(x)＝4x4＋x 2， 所以 f(1－x)＝414－1x－＋x 2＝4＋42·4x＝4x＋2 2，
所以由①＋②得
2Sn
＝
f1n＋fn－n 1
＋f
2 n
＋f
n－2 n
＋
…
＋
fn－n 1＋f1n
பைடு நூலகம்
＋
2f(1)＝(n－1)×1＋2(2－ 2)＝n＋3－2 2.
所以 Sn＝3＋2 n－ 2.
【案例 5】 (2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7， a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn.
【即时巩固2】 某市2005年有1万辆燃油公交车．有关 部门计划于2006年投入128辆电力公交车，以后每年投入的 电力公交车比上一年增加50%.
(1)2012年投入电力公交车多少辆？ (2)到哪一年的年底，电力公交车的数量开始超过公交车 总数的13？ 解：(1)设投入电力公交车的数量为数列{an}， 则an＝128×1.5n－1. 到2012年投入电力公交车的数量为 a7＝128×1.56＝1 458(辆)．
解：(1)设廉低价房面积形成数列{an}， 由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50， 则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750，
即n2＋9n－190≥0.而n是正整数，所以n≥10.
所以到2013年年底，该市历年所建廉低价房的累计面积 将首次不少于4 750万平方米．
解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年所还款及 利息的情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清； 第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所还款连同利 息之和为x(1＋10%)元； 第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所还款连同利 息之和为x(1＋10%)2元；
……
第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所还款连同利 息之和为x(1＋10%)9元．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固 定的数时，该模型是等比模型．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的 关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递 推关系．
(即时巩固详解为教师用书独有) 考点一 分期付款问题
【案例1】 职工小张年初向银行贷款2万元用于购房， 银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次 年的本金)．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次， 并且从借款后次年年初开始还款，那么每年应还多少元？(精 确到1元)
(1)该市历年所建廉低价房的累计面积(以2004年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积的 比例首次大于85%?
关键提示：历年所建廉低价房的累计面积是一个等差数 列的求和．当年建造的廉低价房的面积与该年建造住房面积 分别是等差数列的通项与等比数列的通项．
，求 2
Sn＝f1n＋
f2n＋…＋fn－n 1＋f(1)的值．
解：当 x1＋x2＝1 时，
f(x1)＋f(x2)＝2x12＋x1 2＋2x22＋x2 2 ＝2x12＋x1 2＋21－21x－1＋x1 2
＝2x12＋x1
2＋2＋
2 2·2x1
＝1，
所以 Sn＝f1n＋f2n＋…＋fn－n 1＋f(1)，① Sn＝fn－n 1＋fn－n 2＋…＋f1n＋f(1)．② 又因为 f(1)＝2＋2 2＝2－ 2，
解析：因为b2＝ac≠0，所以Δ＝b2－4ac＝－3b2<0. 答案：0
1．解数列应用题，一般要经历设、列、解、答四个环 节．
2．建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比 数列模型或递推数列模型，是求an还是求Sn或n.
3．数列应用题常见模型： (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型是等差模型．
(2)解：由(1)知lg(an＋1)＝2n－1lg(1＋a1)＝2n－1lg 3＝lg 32n－1，所以an＋1＝32n－1.
所以Tn＝(1＋a1)(1＋a2)·…·(1＋an) ＝320·321·322·…·32n－1 ＝31＋2＋22＋…＋2n－1
＝32n－1. 所以Tn＝32n－1，an＝32n－1－1.
(1)证明：f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2， 即logaan＝2n＋2， 可得an＝a2n＋2. 所以aan－n 1＝a2an2－n＋12＋2＝aa2n2＋n 2＝a2(n≥2)，为定值， 所以{an}为等比数列．
(2)解：bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.
1．{an}是等差数列，a2＝8，S10＝185，从{an}中依次 取出第3项，第9项，第27项，…，第3n项，按原来的顺序组
成一个新数列{bn}，则bn＝( )
A．3n＋1＋2
B．3n＋1－2
C．3n＋2
D．3n－2
解析：由a2＝8，S10＝185，先求出a1＝5，d＝3， 则an＝3n＋2，bn＝a3n＝3n＋1＋2. 答案：A
(5)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息 之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之 和．
【即时巩固1】 某人在年初用16万元购买一套住房， 付现金6万元．按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年 以复利计算．每年年底应支付多少元？
解：余款10万元6年的本利和是 105×(1＋0.1)6＝105×1.16(元)． 设每年年底应支付a元，支付6次的本利和应是 a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5
logax(a>0 且 a≠1)，设 f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项 为 4，公差为 2 的等差数列．
(1)设 a 为常数，求证：{an}成等比数列．
(2)若 bn＝anf(an)，{bn}的前 n 项和是 Sn，当 a＝ 2时， 求 Sn.
关键提示：(1)以函数知识为背景，先求f(an)＝logaan再 由等差数列的通项公式得logaan＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，解 得an＝a2n＋2，最后用等比数列的定义证明．(2)用错位相减法 求和．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}， 题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08， 则bn＝400×1.08n－1. 由题意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.
所以到2009年年底，当年建造的廉低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.
根据题意可得 x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9 ＝20 000(1＋10%)10，
所以 x＝20 0001× .1110－.1110×0.1≈3 255. 所以每年应还款 3 255 元．
点评：对于分期付款方案，应明确以下几点： (1)规定多长时间内付清全部款额． (2)在规定时间内分几期付款，并且规定每期付款额相 同． (3)规定多长时间结算一次利息，并且在规定时间内利 息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方 案中每期应付款多少元，总共应付款多少元． (4)分期付款时，商品售价和每期所付款在贷款全部付 清前会随时间的推移而不断增值．
(2)设 Sn 为前 n 年投入电力公交车的数量和，
则 10
00S0n＋Sn>13，所以
Sn＝1281－1－1.15.5n>5
000，
即 1.5n>63527，所以 n>7.5，即 n≥8.
所以到 2013 年年底，电力公交车的数量开始超过公交
车总数的13.
考点三 数列与函数的综合应用
【案例 3】 (2011 届·华南师大附中月考)已知 f(x)＝
2．已知函数 f(x)＝2x－3 11，若 an＝f(n)，n∈N*，其前 n
项和为 Sn，则 S11＝( )
3 A.11
B．0
1 C.3
20 D.33
解析：Sn＝a1＋a2＋…＋a11，由于 a1＋a10＝a2＋a9＝…
＝a5＋a6＝0.所以 S11＝a11＝131. 答案：A
3．某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政 府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10% 建设新住房，则n年后该小区的住房面积为( )
所以Sn＝n·2n＋3.
【即时巩固3】 已知数列{an}满足a1＝2，且点(an，an ＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
(1)证明：数列{lg(1＋an)}是等比数列． (2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)·…·(1＋an)，求Tn及数列{an}的 通项．
(1)证明：由已知an＋1＝a＋2an， 所以an＋1＋1＝(an＋1)2. 因为a1＝2，所以a1＋1>0，所以lg(a1＋1)≠0. 所以lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)． 所以数列{lg(an＋1)}是公比为2的等比数列．
数列综合题的四种类型： (1)数列与其它知识交汇的综合题 数列综合题包括把数列知识和指数函数、对数函数、 不等式的知识综合起来． (2)数列的探索性问题 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出 现．探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要 求．
(3)等差数列与等比数列的综合问题 (4)数列的实际应用 现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口 增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考 虑用数列的知识加以解决．
所以 f(x)＋f(1－x)＝1.
S＝f2
0102＋f2
0202＋…＋f22
000012，①
S＝f22 000012＋f22 000002＋…＋f2 0102，②
①＋②，得
2S＝2
001×f2
0102＋f22
000012＝2
001，所以
S＝2
001 2.
【即时巩固 4】
已知函数 f(x)＝2x＋2x
A．a·1.1n－nb B．a·1.1n－10b(1.1n－1) C．n(1.1a－1) D．1.1n(a－b) 解析：面积为1.1na－1.1n－1b－…－b ＝1.1na－10b(1.1n－1)． 答案：B
4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋ bx＋c的图象与x轴公共点的个数为________．
(2)因为 an＝2n＋1， 所以 a2n－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝4nn1＋1＝14(1n－n＋1 1)． 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1) ＝14(1－n＋1 1)＝4nn＋1. 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
当 a＝ 2时，bn＝(2n＋2)( 2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2.
Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，① 2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋ (n＋1)·2n＋3.②
①－②得
－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2411－－22n－1－(n＋1)2n＋3 ＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.
＝a×11..116－－11＝10a(1.16－1)(元)． 因为 105×1.16＝10a(1.16－1)， 所以 a＝110.41×6－1.116＝110.47×711.67－7116≈22 960(元)． 所以每年年底应支付 22 960 元．
考点二 数列的实际应用
【案例2】 假设某市2004年新建住房400万平方米，其 中有250万平方米是廉低价房．预计在今后的若干年内，该 市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建 住房中，廉低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么， 到哪一年年底，
考点四 数列求和问题
【案例 4】
设
f(x)＝4x4＋x 2，求
S＝f2
0102＋f2
0202＋…
＋f22 000012的值．
关键提示：通过观察2 0102，2 0202，…，22 000012的特点，
结合研究函数 f(x)满足 f(x)＋f(1－x)＝1，最后用倒序相加法
求和．
解：因为 f(x)＝4x4＋x 2， 所以 f(1－x)＝414－1x－＋x 2＝4＋42·4x＝4x＋2 2，
所以由①＋②得
2Sn
＝
f1n＋fn－n 1
＋f
2 n
＋f
n－2 n
＋
…
＋
fn－n 1＋f1n
பைடு நூலகம்
＋
2f(1)＝(n－1)×1＋2(2－ 2)＝n＋3－2 2.
所以 Sn＝3＋2 n－ 2.
【案例 5】 (2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7， a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn.
【即时巩固2】 某市2005年有1万辆燃油公交车．有关 部门计划于2006年投入128辆电力公交车，以后每年投入的 电力公交车比上一年增加50%.
(1)2012年投入电力公交车多少辆？ (2)到哪一年的年底，电力公交车的数量开始超过公交车 总数的13？ 解：(1)设投入电力公交车的数量为数列{an}， 则an＝128×1.5n－1. 到2012年投入电力公交车的数量为 a7＝128×1.56＝1 458(辆)．
解：(1)设廉低价房面积形成数列{an}， 由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50， 则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750，
即n2＋9n－190≥0.而n是正整数，所以n≥10.
所以到2013年年底，该市历年所建廉低价房的累计面积 将首次不少于4 750万平方米．
解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年所还款及 利息的情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清； 第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所还款连同利 息之和为x(1＋10%)元； 第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所还款连同利 息之和为x(1＋10%)2元；
……
第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所还款连同利 息之和为x(1＋10%)9元．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固 定的数时，该模型是等比模型．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的 关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递 推关系．
(即时巩固详解为教师用书独有) 考点一 分期付款问题
【案例1】 职工小张年初向银行贷款2万元用于购房， 银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次 年的本金)．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次， 并且从借款后次年年初开始还款，那么每年应还多少元？(精 确到1元)
(1)该市历年所建廉低价房的累计面积(以2004年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积的 比例首次大于85%?
关键提示：历年所建廉低价房的累计面积是一个等差数 列的求和．当年建造的廉低价房的面积与该年建造住房面积 分别是等差数列的通项与等比数列的通项．
，求 2
Sn＝f1n＋
f2n＋…＋fn－n 1＋f(1)的值．
解：当 x1＋x2＝1 时，
f(x1)＋f(x2)＝2x12＋x1 2＋2x22＋x2 2 ＝2x12＋x1 2＋21－21x－1＋x1 2
＝2x12＋x1
2＋2＋
2 2·2x1
＝1，
所以 Sn＝f1n＋f2n＋…＋fn－n 1＋f(1)，① Sn＝fn－n 1＋fn－n 2＋…＋f1n＋f(1)．② 又因为 f(1)＝2＋2 2＝2－ 2，
解析：因为b2＝ac≠0，所以Δ＝b2－4ac＝－3b2<0. 答案：0
1．解数列应用题，一般要经历设、列、解、答四个环 节．
2．建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比 数列模型或递推数列模型，是求an还是求Sn或n.
3．数列应用题常见模型： (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型是等差模型．
(2)解：由(1)知lg(an＋1)＝2n－1lg(1＋a1)＝2n－1lg 3＝lg 32n－1，所以an＋1＝32n－1.
所以Tn＝(1＋a1)(1＋a2)·…·(1＋an) ＝320·321·322·…·32n－1 ＝31＋2＋22＋…＋2n－1
＝32n－1. 所以Tn＝32n－1，an＝32n－1－1.
(1)证明：f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2， 即logaan＝2n＋2， 可得an＝a2n＋2. 所以aan－n 1＝a2an2－n＋12＋2＝aa2n2＋n 2＝a2(n≥2)，为定值， 所以{an}为等比数列．
(2)解：bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.
1．{an}是等差数列，a2＝8，S10＝185，从{an}中依次 取出第3项，第9项，第27项，…，第3n项，按原来的顺序组
成一个新数列{bn}，则bn＝( )
A．3n＋1＋2
B．3n＋1－2
C．3n＋2
D．3n－2
解析：由a2＝8，S10＝185，先求出a1＝5，d＝3， 则an＝3n＋2，bn＝a3n＝3n＋1＋2. 答案：A
(5)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息 之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之 和．
【即时巩固1】 某人在年初用16万元购买一套住房， 付现金6万元．按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年 以复利计算．每年年底应支付多少元？
解：余款10万元6年的本利和是 105×(1＋0.1)6＝105×1.16(元)． 设每年年底应支付a元，支付6次的本利和应是 a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5
logax(a>0 且 a≠1)，设 f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项 为 4，公差为 2 的等差数列．
(1)设 a 为常数，求证：{an}成等比数列．
(2)若 bn＝anf(an)，{bn}的前 n 项和是 Sn，当 a＝ 2时， 求 Sn.
关键提示：(1)以函数知识为背景，先求f(an)＝logaan再 由等差数列的通项公式得logaan＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，解 得an＝a2n＋2，最后用等比数列的定义证明．(2)用错位相减法 求和．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}， 题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08， 则bn＝400×1.08n－1. 由题意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.
所以到2009年年底，当年建造的廉低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.
根据题意可得 x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9 ＝20 000(1＋10%)10，
所以 x＝20 0001× .1110－.1110×0.1≈3 255. 所以每年应还款 3 255 元．
点评：对于分期付款方案，应明确以下几点： (1)规定多长时间内付清全部款额． (2)在规定时间内分几期付款，并且规定每期付款额相 同． (3)规定多长时间结算一次利息，并且在规定时间内利 息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方 案中每期应付款多少元，总共应付款多少元． (4)分期付款时，商品售价和每期所付款在贷款全部付 清前会随时间的推移而不断增值．
(2)设 Sn 为前 n 年投入电力公交车的数量和，
则 10
00S0n＋Sn>13，所以
Sn＝1281－1－1.15.5n>5
000，
即 1.5n>63527，所以 n>7.5，即 n≥8.
所以到 2013 年年底，电力公交车的数量开始超过公交
车总数的13.
考点三 数列与函数的综合应用
【案例 3】 (2011 届·华南师大附中月考)已知 f(x)＝
2．已知函数 f(x)＝2x－3 11，若 an＝f(n)，n∈N*，其前 n
项和为 Sn，则 S11＝( )
3 A.11
B．0
1 C.3
20 D.33
解析：Sn＝a1＋a2＋…＋a11，由于 a1＋a10＝a2＋a9＝…
＝a5＋a6＝0.所以 S11＝a11＝131. 答案：A
3．某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政 府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10% 建设新住房，则n年后该小区的住房面积为( )
所以Sn＝n·2n＋3.
【即时巩固3】 已知数列{an}满足a1＝2，且点(an，an ＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
(1)证明：数列{lg(1＋an)}是等比数列． (2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)·…·(1＋an)，求Tn及数列{an}的 通项．
(1)证明：由已知an＋1＝a＋2an， 所以an＋1＋1＝(an＋1)2. 因为a1＝2，所以a1＋1>0，所以lg(a1＋1)≠0. 所以lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)． 所以数列{lg(an＋1)}是公比为2的等比数列．
数列综合题的四种类型： (1)数列与其它知识交汇的综合题 数列综合题包括把数列知识和指数函数、对数函数、 不等式的知识综合起来． (2)数列的探索性问题 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出 现．探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要 求．
(3)等差数列与等比数列的综合问题 (4)数列的实际应用 现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口 增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考 虑用数列的知识加以解决．
所以 f(x)＋f(1－x)＝1.
S＝f2
0102＋f2
0202＋…＋f22
000012，①
S＝f22 000012＋f22 000002＋…＋f2 0102，②
①＋②，得
2S＝2
001×f2
0102＋f22
000012＝2
001，所以
S＝2
001 2.
【即时巩固 4】
已知函数 f(x)＝2x＋2x