2025届四川省成都石室中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2025届四川省成都石室中学高考数学考前最后一卷预测卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )
A ．9
B ．12
C ．15-
D ．18-
2．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23
-，则此双曲线的方程是 A ．22134
x y -= B ．22
143x y -= C ．22
152x y -= D ．22125
x y -= 4．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式
1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）
A ．(),2-∞
B ．(),1-∞
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞ 5．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ）
A ．23
B ．2
C ．14
D ．13
6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===
若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）
A ．2116
B ．32
C ．2516
D ．3 7．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 8．已知1sin 243απ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79- B ．29- C ．29 D ．79
9．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A ．72种
B ．36种
C ．24种
D ．18种 11．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．28358
12．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}
29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}35x x <≤
B ．{3x x <-或}5x >
C ．{}32x x -≤≤-
D ．{}
35x x -≤≤ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =____.
14．已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，O 为坐标原
点，若OPQ ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为______.
15．设x y 、满足约束条件,1
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a ＝_________. 16．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在直角ACB △中，2ACB π
∠=，3CAB π
∠=，2AC =，点M 在线段AB 上.
（1）若3sin CMA ∠=CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =12
BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值. 18．（12分）在直角坐标系xQy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.
(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：
(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<. 19．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为34
，王慧每次击中鼓的概率为23；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和ξ的分布列和数学期望()E ξ.
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
P ⎛- ⎝⎭
在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.
21．（12分）,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.
（1）若1,6b A π==
，求sin B ； （2）已知3C π
=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.
22．（10分）已知函数()y f x =与x y e =的图象关于直线y x =对称. （e 为自然对数的底数）
（1）若()y f x =的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过点(1),e --，求0x 的值；
（2）若不等式21()(1)12
f x ax a x ---恒成立，求正整数a 的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.
【详解】
设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩
9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.
故选：A.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.
2、D
【解析】
根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断.
【详解】 51212z i i
==-+，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限. 故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.
3、D
【解析】
根据点差法得
2225a b
=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果. 【详解】 设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b -=，得()()12122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（） 2
523b ⨯-（），即2225a b =，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22
125
x y -=．故选D ． 【点睛】 本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
4、A
【解析】
构造函数()()x x f x g x e
⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.
【详解】
构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10x x f x x f x g x e
-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()3
2f e =，所以()32222e g e e ⨯==. 由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22x x f x g x e g e
⋅=
<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A
【点睛】 本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5、D
【解析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得a 的值.
【详解】
∵()()()()666131313x a x x x a x -+=+-+
所以展开式中3x 的系数为2233663
313554045C aC a -=-=-， ∴解得13a =
. 故选：D.
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
6、A
【解析】
分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，
BD =。

设(01)DE tDC t =≤≤
AE BE ⋅223()()()2
AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+
=233322
t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116
，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

同时利用向量共线转化为函数求最值。

7、B
【解析】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=++=+,
可得48
a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.
【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=+=+
,
48
a b ⎧⎪=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.
故选:B
【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
8、A
【解析】 由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249
παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9
α=- 【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有
27cos()12sin 2249
παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭
又∵cos()sin 2π
αα+=-
∴7sin 9
α=-
故选：A
【点睛】
本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题
9、C
【解析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
点P 不在直线l 、m 上， ∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立， 若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下： 若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
10、B
【解析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有
，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有
，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×
(9+9)=2×18=36种， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
11、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.
【详解】 二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为744
4712835(3)28
C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
12、C
【解析】
根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M ，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M ， ()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}
{}29033N x x x x =-≥=-≤≤，
(){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.
故选：C . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、6π 【解析】
由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联
立方程组，即可求得角A. 【详解】
sin C B
=
根据正弦定理：
sin sin
b c
B C
=
∴
可得c=
根据余弦定理：2222cos
a b c bc A
=+-
由已知可得：22
a b
-=
故可联立方程：222
22
2cos
c
a b c bc A
a b
⎧=
⎪
=+-
⎨
⎪
-=
⎩
解得：cos A=
由0Aπ
<<
∴
6
A
π
=
故答案为：
6
π
.
【点睛】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14、2
【解析】
根据OPQ
∆为等边三角形建立,a b的关系式，从而可求离心率.
【详解】
据题设分析知，60
POQ
∠=︒，所以tan60
b
a
=︒
，得b=，
所以双曲线C
的离心率2
c
e
a
====.
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立,,
a b c之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15、3
【解析】 根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为11=-+y x z a a ，对参数a 分类讨论，当0a =时显然不满足题意；当1a ≥时，直线11=-+y x z a a
经过可行域中的点A 时，截距最小，即z 有最小值，再由最小值为7，得出结果；当01a <<时，11=-+y x z a a 的截距没有最小值，即z 没有最小值；当0a <时，11=-+y x z a a
的截距没有最大值，即z 没有最小值，综上可得出结果.
【详解】
根据约束条件画出可行域如下：由==1x y a x y +⎧⎨
--⎩，可得出交点1122，-+⎛⎫ ⎪⎝⎭a a A ， 由z x ay =+可得11=-+y x z a a
，当0a =时显然不满足题意； 当1a ≥即110a -≤-<时，由可行域可知当直线11=-+y x z a a
经过可行域中的点A 时，截距最小，即z 有最小值，即11+722
-+⋅=a a a ，解得3a =或5-（舍）； 当01a <<即11-<-a 时，由可行域可知11=-+y x z a a
的截距没有最小值，即z 没有最小值； 当0a <即10a ->时，根据可行域可知11=-+y x z a a
的截距没有最大值，即z 没有最小值. 综上可知满足条件时3a =.
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.
1643 【解析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.
【详解】
解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,
上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,
∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形, SAD 是边长为2的等边三角形,
故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂=
故平面SAD ⊥平面ABCD ,
∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高,
∴此四棱锥的体积为:
1143224133ABCD V S SE ⨯=⨯⨯-=正方形＝ 43 【点睛】
本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3；（2）43+.
【解析】
（1）在CAM 中，利用正弦定理即可得到答案；
（2）由12
BMN ACB S S =△△可得43BM BN ⋅=，在BMN ∆中，利用7MN =
2222cos
6MN BM BN BM BN π=+-⋅，解方程组即可. 【详解】
（1）在CAM 中，已知3CAM π
∠=
，sin CMA ∠=2AC =，由正弦定理， 得sin sin CM AC CAM CMA =∠∠
，解得sin 233sin AC CM CMA π⋅===∠. （2）因为12BMN ACB S S =△△
，所以111sin 22622
BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯
BM BN ⋅=. 在BMN ∆中，由余弦定理得，
(
)22222cos 216MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭
，
即(
)22212BM BN ⎛
=+-⨯+ ⎝
⎭， (
)(2
2194BM BN +=+=+，
故4BM BN +=+【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.
18、（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】
（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；
（2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.
【详解】
(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22
244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=； (2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩
可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.
19、（1）
23（2）详见解析 【解析】
（1）要积分超过200分，则需两人共击中4次，或者击中3次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得ξ的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件i A 为“张明第i 次击中”，事件i B 为“王慧第i 次击中”，1,2i =，由事件的独立性和互斥性可得P （张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
()()()()()12121212121212121212P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++
332213223312224433443344333
⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是23
. （2）ξ的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
11111(200)4433144
P ξ=-=⨯⨯⨯=， 111231115(50)24433443372
P ξ⎛⎫=-=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 13123311112237(100)4443344334433144P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 331231225(250)24433443312
P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 3322361(400)44331444
P ξ==⨯⨯⨯==. ∴ξ的分布列为
∴153751()200(50)10025040022514472144124E ξ=-⨯
+
-⨯+⨯+
⨯+⨯=（分） 【点睛】 本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
20、（Ⅰ）2
214
x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）把点P 代入椭圆方程，结合离心率得到关于,a b 的方程，解方程即可；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段AB 的中垂线方程即可证明.
【详解】 （Ⅰ）由已知椭圆过点1,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
得，221314a b +=， 又c e a ==224a b =， 所以22
4,1a b ==，即椭圆方程为2
214x y +=. （Ⅱ）证明： 由2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()222148440k x kmx m +++-=，
由()()
22222264414441664160k m k m m k =-+-=-++>△，得2214m k <+， 由韦达定理可得，122
814km x x k +=-+， 设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114km x k
=-=+，即2144k km +=-， 0021144m y kx m k k
∴=+==-+，
AB ∴的中垂线方程为11(1)4y x k k +=--，即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 故AB 得中垂线恒过点3,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.
21、（1）1sin 8B =
（2）5+【解析】
（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ； （2）根据3C π
=，选择in 12
s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大， 结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．
【详解】
（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=，
即48a b +=.
因为1b =，所以4a =. 由4
1sin sin 6B =π，得1sin 8
B =.
（2）因为48a b +=≥=，
所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.
因为ABC 的面积11sin 4sin 223
S ab C π=≤⨯⨯=所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值，
此时222
41241cos
133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =，
所以ABC 的周长为5+【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．
22、（1）e ；（2）2.
【解析】
（1）根据反函数的性质，得出()ln f x x =，再利用导数的几何意义，求出曲线ln y x =在点A 处的切线为)000
1(y y x x x -=-，构造函数()ln H x x x =，利用导数求出单调性，即可得出0x 的值； （2）设21()ln (1)12g x x ax a x =-+-+，求导()1(1)a x x a g x x
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，求出()g x 的单调性，从而得出最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，结合恒成立的性质，得出正整数a 的最小值. 【详解】
（1）根据题意，()y f x =与x y e =的图象关于直线y x =对称，
所以函数()f x 的图象与x y e =互为反函数，则()ln f x x =,，
设点()00,A x y ，00ln y x =，又1y x '=
， 当0x x =时，0
1y x '=， 曲线ln y x =在点A 处的切线为)0001(y y x x x -=
-， 即00
ln 1x y x x -=-，代入点(1),e --， 得001ln 1e x x ---=
-，即00ln e x x =， 构造函数()ln H x x x =，
当(0,1)x ∈时，()0H x <，
当(1,)x ∈+∞时，()0H x >，
且()ln 1H x x '
=+，当1x >时，()0,()H x H x '>单调递增， 而()H e e =， 故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =.
（2）由于不等式21()(1)12
f x ax a x ---恒成立，
可设21()ln (1)12
g x x ax a x =-+-+， 所以2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =
. 所以当10,x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,
x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在x ∈1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数. 故函数()g x 的最大值为111ln 2g a a a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 2
111(1)1ln 2a a a a a ⎛⎫+-⨯+=- ⎪⎝⎭. 令1()ln 2h a a a
=
-， 因为1(1)02h =>，1(2)4h = ln 20-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数.
所以当2a 时，()0h a <.
所以正整数a 的最小值为2.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.。