(高清版)【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)

B．（选修 4-2：矩阵与变换）求将曲线 y2 x 绕原点逆时针旋转 90 后所得的曲线方程．
C．（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴
重合．若曲线
C1
的方程为
sin(
π 6
)
2
3
0
，曲线
C2
的参数方程为
x y
cos sin
（1）将 C1 的方程化为直角坐标方程；
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分． 15．（本小题满分 14 分） 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， A 2B ， sinB 3 ．
3 （1）求 cosA 及 sinC 的值； （2）若 b 2 ，求 △ABC 的面积． 16．（本小题满分 14 分） 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1B1B 为正方形， BB 1C1C 为菱形， BB1C1 60 ，平面 AA1B1B
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 1.8 元/千克，每次
购买配料需支付运费 236 元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7 天以内（含 7 天），无
论重量多少，均按 10 元/天支付；超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支
2．命题“若 a b ，则 a2 b2 ”的否命题是________．
3．已知
i
为虚数单位，复数
z
1 2i 1 i
，则复数
z
的虚部是________．
4．一支田径队有男运动员 28 人，女运动员 21 人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取 14 位运动员进
行健康检查，则男运动员应抽取________．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) x 1 a(x 1)2 lnx(a R) ．
（1）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间；
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（2）若函数 g(x) f (x) x 1既有一个极小值和又有一个极大值，求 a 的取值范围； （3）若存在 b (1, 2) ，使得当 x (0,b] 时， f (x) 的值域是 [ f (b), ) ，求 a 的取值范围． 注：自然对数的底数 e 2.71828... ．
【选做题】第 22 题、23 题，每题 10 分，共计 20 分．
22．设 A，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由 4 只小白鼠组成，其
中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B
有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 2 ，服用 B 有效的概率为 1 ．
付．
（1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元？
（2）设该厂 x 天购买一次配料，求该厂在这 x 天中用于配料的总费用 y（元）关于 x 的函数关系式，并求
该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？
18．（本小题满分 14 分）
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
（2）当 x 7 时 y 360x 236 70 6[(x 7) (x 6) 2 1] 3x2 321x 432
370x 236, x 7 ∴ y 3x2 321x 432, x 7
5．执行如右图所示的程序框图，若输出 s 的值为 16，那么输入的 n 值等于________．
6．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，则其中恰有一个红球的概率是________． 7．等差数列{an} 中，若 a3 a5 a7 a9 a11 100 ，则 3a9 a13 ________．
旋转 90 到点 S，则 | SQ | 的取值范围为________．
14．如图，在数轴上截取与闭区间[0, 4] 对应的线段，对折后（坐标 4 所对应的点与原点重合）再均匀地拉 成 4 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 1、3 变成 2，原 来的坐标 2 变成 4，等等）．那么原闭区间[0, 4] 上（除两个端点外）的点，在第 n 次操作完成后（ n 1 ）， 恰好被拉到与 4 重合的点所对应的坐标组成的集合是________．
8．将函数 f (x) sin2x cos2x 的图像向右平移 个单位（ 0 ），可得函数 g(x) sin2x cos2x 的图像， 则 的最小值为________．
9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为 1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10．如图，在 Rt△ABC 中，C 90 ， AC 4 ， BC 2 ，D 是 BC 的中点，E 是 AB 的中点，P 是 △ABC （包括边界）内任一点．则 ADEP 的取值范围是________．
取 BC 的中点 G，连接 GE，GA．因为 E 是 B1C 的中点，
所以
GE∥BB1
，且
GE
=
1 2
BB1
．
因为
F
是
AA1
的中点，所以
AF
1 2
AA1
．
在正方形 ABB1A1 中， AA1∥BB1 ， AA1=BB1 ．
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江苏省南通市 2017 年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）
答案
一、填空题 1． {0,1} 2． a2 b2 3． 3
2 4．8 5．7 6． 2
3 7．40 8． π
4 9． 2 2 π
3 10． [9, 9] 11．3 12． 1 a 6ln3
e
13．[2 106 2, 2 106 2]
已知曲线
C：
xy
1
，
x
11 7
过
C
上一点
An (xn ,
yn )
作一斜率
kn
1 xn
2
的直线交曲线
C
于另一点，
An1 (xn1, yn1 ) ．
（1）求 xn 与 xn1 之间的关系式；
（2）求证：数列
{
xn
1
2
1} 3
是等比数列，并求数列
{xn }
的通项公式；
（3）求证： (1)x1 (1)2 x2 (1)3 x3 ...(1)n xn 1(n N* ) ．
3
2
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察三个试验组，用 X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求 X 的分布列和数学期望．
23．用数学归纳法证明： 2n C2nn 4n ，其中 n 2 ， n N ．
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sinB sinA
3 22
3
33
∴
S△ABC
1 2
absinC
20 9
2
．
16．解：（1）连接 BC1．在正方形 ABB1A1 中， AB BB1 ．
因为平面 AA1B1B 平面 BB1C1C ， 平面AA1B1B 平面BB1C1C BB1 ， AB 平面ABB1 A1 ，
所以 AB 平面BB1C1C ．
第Ⅱ卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，每小题 10 分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内 作答． A，（选修 4-1；几何证明选讲） 如图，已知 AB 切圆 O 于点 B，BC 是圆 O 的直径，AC 交圆 O 于点 D，DE 是圆 O 的切线，CE DE 于 E， DE 3 ， CE 4 ，求 AB 的长．
（2）若点 Q 为 C2 上的动点，P 为 C1 上的动点，求 | PQ | 的最小值．
D．（选修 4-5：不等式选讲）设函数 f (x) | 2x 1| | x 2 | ．
（1）求不等式 f (x) 2 的解集；
（2）若 x R ， f (x) t2 11t 恒成立，求实数 t 的取值范围． 2
因为 B1C 平面BB1C1C ，所以 AB B1C
在菱形 BB1C1C 中，． BC1 B1C 因为 B1C 平面ABC1 ， AB 平面ABC1 ， B1C AB B ，
所以 B1C 平面ABC1 ．
因为 AC1 平面ABC1 ，所以 B1C AC1 ．
（2） EF∥平面ABC ，理由如下：
11．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (0, 2] 上是增函数，且 f (x 4) f (x) ，给出下列结论： ①若 2 x1 x2 2 且 x1 x2 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 0 ；
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14． {x|x
i 2n2
,i为[1,
2n
]中的所有奇数}
二、解答题
15．解：（1）∵ A 2B ，∴ cosA cos2B 1 sin 2B ．
∵ sinB 3 ，∴ cosA 1 2 1 1 ．
3
33
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b
0) 的离心率为
3 ，短轴端点到焦点的距离为 2． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设点 A，B 是椭圆 C 上的任意两点，O 是坐标原点，且 OA OB ；
①求证：存在一个定圆，使得直线 AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程；
②若点 O 为坐标原点，求 △AOB 面积的最大值．
19．（本小题满分 16 分）
其中正确的结论的个数是________个．
12．已知函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (1) ，当 x [1,3] 时， f (x) lnx ，若在区间[1 ,3] 上，函数 g(x) f (x) ax
x
3
恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是________．
13．设 P 是圆 M： (x 5)2 ( y 5)2 1上的动点，它关于 A(9,0) 的对称点为 Q，把 P 绕原点依逆时针方向
平面 BB 1C1C ．
（1）求证： B1C AC1 ；
（2）设点 E，F 分别是 B1C，AA1 的中点，试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系，并说明理由．
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17．（本小题满分 14 分）
所以 GE∥AF ，且 GE=AF ． 所以四边形 GEFA 为平行四边形． 所以 EF∥GA ． 因为 EF 平面ABC ， GA 平面ABC ， 所以 EF∥平面ABC ．
17．解：（1）当 9 天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P 70 0.03 200 (1 2) 88 （元）． （2）（1）当 x 7 时 y 360x 10x 236 370x 236
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江苏省南通市 2017 年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（四）
第Ⅰ卷（必做题，共 160 分）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．已知集合 A {x | x2 16 0} ， B {5,0,1} ，则 A B ________．
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②若 0 x1 x2 4 且 x1 x2 5 ，则 f (x1) f (x2 ) ；
③若方程 f (x) m 在[8,8] 内恰有四个不同的实根 x1，x2，x3，x4，则 x1 x2 x3 x4 8 或 8；
④函数 f (x) 在[8,8] 内至少有 5 个零点，至多有 13 个零点；
由题意可知， B (0, π) ． 2
∴ cos B 1 sin2B 6 ．∵ sinA sin2B 2sinBcosB 2 2 ．
3
3
∴ sinC sin[π ( A B)] sin( A B) sinAcosB cosAsinB 5 3 ． 9
（2）∵ b a ， b 2 ，∴ 2 a ，∴ a 4 6 ．