第07章 地球椭球与椭球计算理论

NH
6 原点：O
7 8
Z轴：与椭球短轴重合，指
P0 G
9 向北极方向 10 X轴：指向起始大地子午面
OB
L
Y
X
与椭球赤道的交点方向
KP
19 /9 Y轴：与Z、X轴构成右手 0 坐标系
S
参考椭球
地球椭球与椭球计算理论
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系
6
y
P(x,y)
7 8又 9
10
x2 y2 1 a2 b2 2x2y dy0 a2 b2 dx
O
B Q
4
4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；
5
5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。
6
7
8 9
[难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。
10
各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；
几种常用的椭球计算公式；
地面观测值归算到椭球面的方法与计算。
3 /9
0
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地球椭球与椭球计算理论
坐标系确定地面点的“绝对坐标”，它在
13 /9 0
卫星大地测量中获得广泛应用。
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(5)参心空间直角坐标系
1 以椭球中心O为原点，
2 3
起始子午面与赤道面
4 交线为X轴，在赤道
5 6
面上与X轴正交的方
7 8 9
向为Y轴，椭球体的 旋转轴为Z轴，构成
10 右手坐标系O-XYZ，
Z
X
P1
O X
Y
B P2
KP
Y
22 /9
0
S
参考椭球
地球椭球与椭球计算理论
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系
1
2 3、几点说明
3
4 5
实用中，经常说的某
ZP NH
6 7
个点的某一坐标系下的
L P0 G
8 坐标，也意味着有一个
在该坐标系中，P点
14/9 的位置用X、Y、Z表 0 示。
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(6)子午面直角坐标系
1 2
设P点的大地经度为
3 4 5
L，在过P点的子午 面上，以子午圈椭
6 7
圆中心为原点，建
8 立x，y平面直角坐
9
10
标系。在该坐标系
中，P点的位置用L，
x，y表示
15 /9 0
地球椭球与椭球计算理论
二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
1
2 3 4
y
ZP
5
H
6
P0
7
G
8
9
10
Hale Waihona Puke OBQYX
KP
x
26 /9
0
S
参考椭球
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
1 二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
2
3
4 5
dyta9n0(B)coBt dx
S
参考椭球
地球椭球与椭球计算理论
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系
1
2 3、几点说明
3
4 5
大地测量学中，所
ZP NH
6 7
说的地面点的大地坐标
L P0 G
8 9
10
和大地空间直角坐标都 隐含着一个椭球，没有 椭球也就没有这些坐标。
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第七章 地球椭球与椭球计算理论
1
[本章提要]
2
7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系
3 4
7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
5
7.3 几种主要的椭球公式
6
7.4 椭球面上的弧长计算
7 8
7.5 大地线
9
7.6 将地面观测值归算至椭球面
10
7.7 将地面观测的长度归算到椭球面
9
10
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯
基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是
1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参
5 /9
数。
0
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2.地球椭球参数间的相互关系
由前面式子得：
1
2 3 4
e2

a2 b2 a2
e'2
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(7)大地极坐标系
1 2
M为椭圆体面上任意一
3 点，MN为过M点的子
4 5
午线，S为连结MP的大
6 7 8
地线长，A为大地线在 M点的大地方位角。以
9
10
M为极点、MN为极轴、
S为极径、A为极角，就
构成了大地极坐标系。
16 /9 0
P点位置用S、A表示。
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10
中两种基本坐标系）
子午平面直角坐标系
7 /9
大地极坐标系
0
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(1)天文坐标系
1 • 在图中，O为地球质心，OP为地球自转
2 3 4
轴，P点假定为北极点，K点为大地水准 面上任意一点，KK为K点的垂线方向。包
5 6
含K点垂线方向并与地球自转轴OP平行
7 的平面称为K点的天文子午面。G点为英
Z
9
10 椭球，坐标是相对该椭
球的。
X
P1
O X
Y
B P2
KP
Y
23 /9
0
S
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系
1
2 3、几点说明
3 4
地面上每点沿法线在参
ZP
5 6
考椭球面上都相应有一个
6399593.6258
4 5

1/298.3
1/298.257
1/298.257223563
6
e2 0.006693421622966 0.006694384999588 0.0066943799013
7 8
e’2 0.006738525414683 0.006739501819473 0.00673949674227
9
10
至椭球面上。在对本章的学习中，要
建立起空间的概念，只有建立了地球
椭球的这些基本空间概念后，才能更
2 /9
好地学习大地测量的内业数据处理等
0
相关知识。
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[知识点及学习要求]
1
1．地球椭球的定义及其几何意义；
2
2．常用测量坐标系统的建立及其在大地测量中的应用；
3
3．各种测量坐标系统之间的相互转换；
地心空间直角坐标系是在大地体内建立
1 2
的坐标系O-XYZ．，它的原点与地球质
3 4
心重合，坐标轴系的配置方法如图所示。
5 Z轴与地球自转轴重合，X轴与地球赤道
6 7
面和起始子午面的交线重合，Y轴与XZ平
8 面正交，指向东方，X、Y、Z构成右手坐
9
10
标系，一点K的地心空间直角坐标用(z、y、
z)表示。地心坐标系是唯一的，因此这一
7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角
1 坐标系
2 3
1、相对于参考椭球的大地坐标系定义
P
4 基本概念
N
5
6 7
参考椭球的中心：O
P0 G
8 9
参考椭球的北极：N
O
10 参考椭球的南极：S
参考椭球的赤道：
KP
17/9 起始大地子午面：NGS 0 测站大地子午面：NP0S
地球椭球与椭球计算理论
• (3)地心纬度坐标系
1
2 3
• 在图中，椭球面上
4 任意一点K，其与椭
5 6
球中心O以一直线连
7 结,该直线与椭球赤
8 9
道面的夹角叫做地
10 心纬度。该点的大
地经度L与地心纬度
12/9 构成地心纬度坐标 0 系。
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(4)地心空间直角坐标系
6 /9 0
e ' e1 e '2 e e ' 1 e 2
V W 1 e2 W V1 e 2
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7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
1
2
3 4
• 1.常用的几种坐标系
5 6
天文坐标系
7 8
大地坐标系
9
空间直角坐标系（大地测量
10
地面点大地维度：B，
0o~±90o
OB L
KP
18/9 地面点大地高：H，可
0 正可负。
S
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐
1 标系
2
3 4 5
2、相对于参考椭球的大地空间直角坐标Z系定P义
基本概念
1
2 2、相对于参考椭球的大地空间直角坐标系定义
3
4 大地空间直角坐标
5 6
（X，Y，Z）
7
ZP NH
L P0 G
8 9
地面点X坐标：OP 1
10
地面点Y坐标：P1 P2
Z
X
P1
O X
Y
B P2
Y
KP
20 /9
0 地面点Z坐标：PP 2
S
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
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• K点的垂线方向与赤道面交角称为K
1 点的天文纬度，K点的天文子午面与起始
2 子午面的夹角称为K点的天文经度， 、
3 4
定义为K点的天文坐标，这样建立的坐
5 标系称为天文坐标系，它是可以通过天
6 7
文观测直接测定点位坐标的一种“自然”
8 9
坐标系。天文坐标给定一点的垂线方向，
10 因此它不仅包含点位信息，而且包含重

a2 b2 b2
1 e2

b2 a2
1 e2

a2 b2
5 6
并得： (1e2)(1e'2)1
7 8 9
推得：
e2
e' 2 1 e'2
e' 2

e2 1 e2
10
同理可得： a b1 e '2 b a1 e 2
c a1 e '2 a c1 e 2
8 9
国格林尼治平均天文台(某一特殊定义的
10 点)。过G点包含OP的平面称为起始天文
子午面。过地球质心并与OP正交的平面
8/9 称为地球赤道面。子午面、赤道面与大地 0 水准面的交线分别称为子午线和赤道。
地球椭球与椭球计算理论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
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地球椭球与椭球计算理论
力场信息。天文坐标系在研究大地水准
10/9 面形状中起着重要的作用。
0
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(2)大地坐标系
1 2
P点的子午面NPS
3 4 5
与起始子午面 NGS所构成的二
6 7
面角叫做P点大地
8 经度，P点的法线
9
10
Pn与赤道面的夹
角B叫P点的大地
纬度，P点的位置
11 /9 0
用L、B表示
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系
1
2 3、几点说明
3
4 5
一个参考椭球（大小+
ZP NH
6 7
定位）可以确定一套大地
L P0 G
8 坐标系和一套大地空间直
Z
9
10 角坐标系，这些坐标系之 间必有一定的关系，坐标
X
P1
O X
Y
B P2
KP
Y
21/9 系的关系也即同一点的两 0 套坐标之间的关系。
NH L P0
7 8
投影点，这两点的B、L
G
Z
9 相同，因此，如果知道了
10
投影点的B、L，也就知
X
P1
O X
Y
B P2
Y
道了地面点的水平坐标，
KP
24 /9 0
这就是在椭球面上推算坐
S
标的思想。
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系
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7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系
1 2
1.地球椭球的基本几何参数
3 4
五个基本几何参数
a、b称为长度元素
5
椭圆的长半轴： a
6
椭圆的短半轴： b
扁率反映了椭球体的
7
椭圆的扁率：
扁平程度
8 9
ab

a
10
(椭圆的第一偏心率：
e a2 b2 a
4 /9
椭圆的第二偏心率：
e和e反映椭球体的扁平程
S
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7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系
一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐
1 标系
2 3
1、相对于参考椭球的大地坐标系定义
P
4 5
大地坐标（B，L，H）
NH
6 地面点大地经度：L，
L P0
7 8
0o~360o或0o~±180o
G
9
7.8 椭球面上三角形的解算
1 /9
7.9 大地主题解算的高斯平均引数公式
0
[习题]
地球椭球与椭球计算理论
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本章提要
1
2 3 4
本章讲述地球椭球与参考椭球的概念， 进而介绍椭球的基本几何参数，基本
5
坐标系及其相互关系。同时，讲述椭
6 7
球面同地面之间的关系，如何将地面
8
观测元素（水平方向及斜距等）归算
0
e a2 b2
度，偏心率越大，椭球愈 扁
b
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克拉索夫斯基椭球
1975国际椭球
WGS-84系椭球
1
a
6378245
6378140