高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选

探究一抛物线的定义及性质的应用
1.抛物线 y2=2px(p>0)的通径长为 2p,这是标准方程中系数 2p 的一种几 何 意 义.利用通径画抛物线很方便且准确.
2.对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应 用 ,要 做到准确、熟练,特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等.
典例提升 1
y轴 向上
向下
做一做 1
抛物线 2y=3x2的准线方程为( )
AC..yy==--1216 答 案 :A
B.y=-14 D.y=-1
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2 .直 线 与抛物线的位置关系 设直线 l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立
已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点,且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B
两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
解析:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2).过焦点 F y=x-���2���,与抛物线方程联立可得 y2-2py-p2=0.
探究一
探究二
探究三
探究四
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解:当焦点在 x 轴的正半轴上时, 设方程为 y2=2px(p>0),当 x=���2���时,y=±p,由 2p=8,得 p=4. 故抛物线的标准方程为 y2=8x,焦点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2.
������ 2
,0
,且斜率为 1 的直线方程为
由线段 AB 的中点的纵坐标为 2,
得 y1+y2=2p=4. 所以 p=2,故准线方程为 x=-1.
答 案 :B
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探究一
探究二
探究三
探究四
设为 x2=my(m≠0),当 m>0 时,开口向上;当 m<0 时,开口向下.以上两种设法
均 可 回避讨论抛物线的开口方向,且焦点到准线的距离为
������ 2
.
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探究一
探究二
探究三
������2 = 2������������
去
y,得
������-
������ 2
2
=2px,
①
探究一
探究二
探究三
探究四
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即 代
入x2-①3p式x+,得���4���2=30p.=∴6x-p1+,∴x2p==33p..
设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),过 A,B 分别向抛物线的准
线作垂线,垂足分别为 A1,B1,
则 |AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|
=
������1
+
������ 2
+
������2
+
������ 2
=x1+x2+p=6,
∴由x1���+��� =x2=������6--���2���p,.消
x≥0,y∈R
F
-
p 2
,0
x=p2
x≤0,y∈R
F
0,
p 2
y=-p2
y≥0,x∈R
F
0,-
p 2
y=p2
y≤0,x∈R
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对称 轴
x轴
顶点 (0,0)
离心 率 e=1
开口 方向
向右
向左
2.3.2 抛物线的 简单几何性质
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学习目标
思维脉络
1.能记住抛物线的简单几何性质.
2.会判断直线与抛物线的位置关系.
3.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线
的综合问题(如与抛物线有关的求值、证明等问
探究四
���变 ��� 式训练 1������已知抛物线的顶点在原点,x 轴为对称轴,经过焦点,
且倾斜角为π的直线
4
l
被抛物线所截得的弦长为
6,求抛物线的标准方程.
解:当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时,可设抛物线的标准方程为
y2=2px(p>0),则焦点 F
������ 2
,0
,直线 l 的方程为 y=x-���2���.
2
∴所求抛物线的标准方程是 y2=3x.
当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准
方程是 y2=-3x.
综上,抛物线的标准方程为 y2=3x 或 y2=-3x.
当焦点在 x 轴的负半轴上时,设方程为 y2=-2px(p>0),由对称性知抛物
线的方程为 y2=-8x,焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2.
规律小结
顶点在原点,对称轴为 x轴的抛物线方程可设为 y2=mx(m≠0),当 m>0时,
开口向右;当 m<0 时,开口向左.顶点在原点,对称轴为 y 轴的抛物线方程可
整理成关于 x 的方程 mx2+nx+q=0 的形式.
位置关系 公共点个数 判定方法
相交 相切
2
个或
1
个
m=0
或
m≠0 Δ> 0
1个
m≠0,且 Δ=0
相离 0 个
m≠0,且 Δ<0
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做一做 2
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦,称为抛物线的通径.求顶点在原 点,以 x 轴为对称轴,且通径的长为 8 的抛物线的标准方程,并指出它的焦点 坐标和准线方程.
思路分析:通径长为 8,即 2p=8,对称轴为 x 轴,即焦点在 x 轴上,由此可 得 抛 物线的标准方程,但注意抛物线的开口方向不确定,需分两种情况考虑.
题).
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1 .抛 物 线的几何性质
类型 y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
焦 点F
p 2
,0
准 线
x=-p2
范 围