【人教版九年级上册数学上册】24.5圆小结课时1

其推
论
定理
一条弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相
等
推论2
半圆(或直径)所对的圆周角
是直角，90°的圆周角所对
的弦是直径
与圆有关的概念
1.圆：平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
2.弦：连接圆上任意两点的线段.
3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦.
4.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
度数是（ C ）
A.40°
B.30°
C.20°
D.15°
A
C
B
解：如图，连接CO.
O
∵在⨀O中， AB=AC,∴∠AOC=∠AOB.
D
∴ ∠AOB=40°， ∠AOC=40°,
1
∴∠ADC= ∠AOC=20°.
2
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD
于 50° .
C
解：连接OC.
∵∠BOC与∠CDB是同弧所对的角，
A
∴∠BOC=2∠CDB，
B E
O
又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，
D
又CE为☉ O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
更多题型见《教材
帮》九上RJ第24章
则∠E=90°- 40°=50°．
(
3.如图，点C是扇形OAB中AB上的任意一点，OA=2，
则∠BAD的度数是( B )
A. 72°
B.54°
C. 45°
D.36 °
A
解：∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，
∠D=36°，∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°-36°=54°．
B
C
E
D
2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设
钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距
24.5 圆小结
第1课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识梳理
确定圆
的要素
圆的
有关
概念
圆心
确定圆的位置
半径
确定圆的大小
优弧
弧
劣弧
半圆
弦
直径是最长的弦
圆的对称性
圆的
基本
性质
和定
理
垂径定
理及其
推论
轴对称、中心对称、旋转对称
定
理
垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧
推
论
平分弦(不是直径)的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两
连接AC，BC,过点O作OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别
为E，F，连接EF，则EF的长度等于 2 .
A
E
解：连接AB，
C
2
2
则AB= + = 2 2，
∵ OE ⊥AC，OF ⊥BC ，
F
∴点E为AC的中点，点F为BC的中点，
O
B
∴EF为△ABC的中位线，
∴ EF
1
= AB=
2
2．
(
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角
所对的弧相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的
圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆的内接四边形的对角互补.
注意：“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；
“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；
“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
重难剖析
1.在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°，
离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长
度为 8 mm.
C
解：设圆心为O，连接AO，
作出过点O的弓形高CD，垂足为D.
8mm
O
由题意得 AO =5 mm，OD =3 mm，
利用勾股定理进行计算，
D
B
A
得 AD =4 mm，
所以 AB =8 mm.
(
(
(
(
3.如图，在⨀O中，AB=AC,∠AOB=40°，则∠ADC的
∴弧CF的度数为120 ∘ ， ∴∠CEF=60 ∘.
又∵CE是直径, ∴∠ECF=30 ∘ ， CE=2 ,
A
1
∴EF= CE=1，
2
在Rt△CEF中， =
C
D
O P
F
² − ² = 3，
即CP+DP的最小值为 3 ．
B
E
5.优弧：大于半圆的弧叫做优弧.
·
与圆有关的概念
6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
·
8.圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.
9.圆内接多边形，多边形的外接圆：如果一个多边形的
所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边
形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
(
4.如图，AB是⊙O的直径，且AB=2，C，D是同一半圆
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96°和36°，动
点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是
.
解：如图，作点D关于AB的对称点F，
C
连接CF，与AB交于点P，连接DP．
D
∴DP=FP，∴FP+PC=DP+CP，
B
A
∴CF的值就是PC+PD的最小值．
弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度
数是 135° .
D
A
解：连接AC，
O
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，
又四边形ABPC为☉O的内接四边形，
∴∠BPC=180°- ∠BAC=135°.
B
C
P
2.如图,线段AB是直径,点D是☉O上一点,∠CDB=20°,
过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E，则∠E 等
圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的
对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质
(1) 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相
圆心角
等，所对的弦也相等.
相等
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 弧
弦
它们所对应的其余各组量都分别相等. 相等
相等
有关定理及其推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧.
拓展：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
有关定理及其推论
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
条弧
圆的
基本
性质和定理圆心源自角、弧、弦的
关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆
心角所对的弧相等，所对的
弦也相等
推论1
在同圆或等圆中，如果两条
弧相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的弦也相等
推论2
在同圆或等圆中，如果两条弦相
等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的优弧和劣弧分别相等
圆的
基本
性质
和定
理
圆周
角定
理及
的长为（ C ）
9
24
18
5
A.
B.
C.
D.
C
5
5
5
2
解：过点C作CM⊥AB，交AB于点M，
∴M为AD中点.
由勾股定理，得AB=5.
1
1
12
∵S△ABC= AC·BC= AB·CM,∴CM= .
2
在Rt
2
M
A
D
B
5
9
18
△ACM中,由勾股定理,得AM= ，∴AD=2AM= .
5
5
能力提升
1.如图，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣
O P
延长CO，与圆O交于点E，连接FE．
F
∵弧AC的度数为96 ∘,∴弧BC的度数为84∘.
E
4.如图，AB是⊙O的直径，且AB=2，C，D是同一半圆
෢ 的度数分别是96°和36°，动
෢
上的两点，并且与
点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 3 .
∵弧BD的度数为36 ∘,∴弧BF的度数为36 ∘,
与圆有关的概念
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交
点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
(2)一个三角形的内切圆是唯一的.