丹东市高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)-精品.doc

辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）
A． B．2C．2 D．10
2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程a2+b+1=0有实数解的概率是（）
A．B．C．D．
4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）
A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95
5．（5分）下列四个命题：
①命题“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”
②“＞2”是“2﹣3+2＞0”的必要不充分条件
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
④对于命题p：∃∈R，使得2++1＜0，则¬p：∀∈R，使得2++1≥0．
其中，错误的命题个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（5分）抛物线y=a2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）
A．4 B．8 C．D．
7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）
A．40 B．100 C．80 D．50
8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）
A．B．C．D．
9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）
A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“至少1名男生”与“全是女生”
11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组
的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）
A．32 B．40 C．48 D．56
12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B． C．D．
二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.
13．（5分）已知向量=（，12，1），=（4，5，1），=（﹣，10，1），且A、B、C三点共线，则=．
14．（5分）已知抛物线y2=2p（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，A+B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清．若记分员计算无误，则数字应该是．
16．（5分）设圆（+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．
三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程
或演算步骤）
17．（10分）已知集合={（，y）|∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．
（1）若，y∈，求+y≥0的概率；
（2）若，y∈R，求+y≥0的概率．
18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y 轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．
19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．
20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．
21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线2=2y于A、B两点，O为原点．
①求证：OA⊥OB；
②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．
辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）
A． B．2C．2 D．10
【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，
可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．
双曲线的焦距为2．
故选：B．
2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin的周期，且T==12，
面积为S=π•=36π，
一个小圆的面积为S′=π•12=π，
在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：
P===．
故选：B．
3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程a2+b+1=0有实数解的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，
基本事件总数n=6×6=36，
∵方程a2+b+1=0有实数解，
∴△=b2﹣4a≥0，
∴方程a2+b+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，
∴方程a2+b+1=0有实数解的概率p=．
故选：C．
4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）
A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95
【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+
∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，
故选：C．
5．（5分）下列四个命题：
①命题“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”
②“＞2”是“2﹣3+2＞0”的必要不充分条件
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
④对于命题p：∃∈R，使得2++1＜0，则¬p：∀∈R，使得2++1≥0．
其中，错误的命题个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①命题“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”，正确，
②由2﹣3+2＞0得＞2或＜1，即“＞2”是“2﹣3+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，
③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，
④对于命题p：∃∈R，使得2++1＜0，则¬p：∀∈R，使得2++1≥0．正确，
故错误的个数为2个，
故选：B
6．（5分）抛物线y=a2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）
A．4 B．8 C．D．
【解答】解：由抛物线y=a2，得，
由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．
∴2p=，则．
∴，得a=．
故选：C．
7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）
A．40 B．100 C．80 D．50
【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，
已知抽到10位中年人，
则10
则，
解得样本的容量n=100．
故答案为：100．
8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由程序框图可得：
A i
第一次循环后2
第二次循环后3
第三次循环后4
…
观察规律可知A的值为，可得：
第九次循环后10
不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．
故选：A．
9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为
（0，±5），
若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，
则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），
则双曲线中c=5，a=3，
则b2=c2﹣a2=16，
则双曲线的方程为：﹣=1，
故选：B．
10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）
A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“至少1名男生”与“全是女生”
【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，
在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；
在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．
故选：D．
11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组
的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）
A．32 B．40 C．48 D．56
【解答】解：设第一小组的频率为a，
由频率分布直方图，得：
a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，
a=0.125．
∵第1小组的频数为6，
∴报考飞行员的学生人数为：=48．
故选：C．
12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B． C．D．
【解答】解：令=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，
由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，
即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），
即有e=＜①
又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，
由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，
由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，
可得3c＜2a+，
即有e=＜②
由e＞1，结合①②可得，
e的范围是（1，）．
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.
13．（5分）已知向量=（，12，1），=（4，5，1），=（﹣，10，1），且A、B、C三
点共线，则=．
【解答】解：∵向量=（，12，1），=（4，5，1），=（﹣，10，1），
∴=（4﹣，﹣7，0），=（﹣2，﹣2，0）．
又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，
∴，解得．
故答案为：﹣．
14．（5分）已知抛物线y2=2p（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，A+B=6，则p=3．【解答】解：如图，
∵AB过焦点F，且|AB|=9，A+B=6，
∴|AB|=A+B+p=6+p=9，即p=3．
故答案为：3．
15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清．若记分员计算无误，则数字应该是1．
【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，
即×（89+89+92+93+90++92+91）=91，
∴636+=91×7=637，
解得=1．
故答案为：1．
16．（5分）设圆（+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．
【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，
∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，
∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．
依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
且2a=5，c=1，
∴b=，
故椭圆方程为+=1，即+=1．
故答案为：
三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程
或演算步骤）
17．（10分）已知集合={（，y）|∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．
（1）若，y∈，求+y≥0的概率；
（2）若，y∈R，求+y≥0的概率．
【解答】解：（1）设“+y≥0，，y∈”为事件A，，y∈，∈[0，2]，即=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．
则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．
其中满足“+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．
故，y∈，+y≥0的概率为．
（2）设“+y≥0，，y∈R”为事件B，
∵∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=
∴P（B）==．
18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y 轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．
【解答】解：命题p：∀∈R，2+m+1≥0为真，
∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）
命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，
∴0＜m＜2…（4分）
又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）
∴或…（10分），
∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）
19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．
【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，
频率为0.008×10=0.08，全班人数为；
所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，
分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；
分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；
分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；
分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；
分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；
所以，该班的平均分数为；
（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，
在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），（5，6）共15个，
其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，
∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．
20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设点P（，y），M（1，y1），由．，得=21，y=2y1，
因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，
即动点P的轨迹C的方程为．
（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，
消y得32+4m+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，
所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．
设设A（3，y3），B（4，y4），则，，
因为点O到直线A：﹣y+m=0的距离d=，
|AB|===，
所以S×=，
×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，
所以△OAB面积的最大值为2
21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与
平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣y如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（，y，），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线2=2y于A、B两点，O为原点．
①求证：OA⊥OB；
②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，
又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）①证明：设A（1，y1）、B（2，y2），依题意，直线l一定有斜率，l的方程为y=+2，
联立方程，消去y得：2﹣2﹣4=0，
∴12=﹣4，则，
∴=12+y1y2=﹣4+4=0，
∴OA⊥OB；
②证明：设C（3，y3）、D（4，y4），直线CD的方程为y=m+n，
∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则34+y3y4=0．
联立，消去y得：（3m2+4）2+6mn+3n2﹣12=0，
∴，，
∴．由，
得7n2=12（1+m2），即|n|=，
∵OH⊥CD，∴．
∴|OH|为定值．。