福建省高三数学毕业班质量检测试题 文(含解析)新人教A

2013年福建省普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式
V =3
1Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式 V =Sh
24S R =π，343
V R =
π
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是
A ．1i z =--
B ．1+i z =-
C ．2z =
D ．z =
【答案】D
【解析】1z i =+，因此，A ，B 不正确；而z =
D 正确。

2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是
A ．22a b >
B ．ac bc >
C ．a c b c +>+
D ．
a b c
c >
【答案】C
【解析】当1a =-，2b =-时显然A 项不对；当0c <时B 和D 项不对；不等式两边加上同一个数不等式方向不改变，因此C 项对。

3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为 A ．3 B ．8 C ．9 D ．63 【答案】B
【解析】由输入x 的值是2，循环一次x 的值是3，循环两次x 的值是8，恰好可以满足条件8x ≥，结束程序，输出的值是8。

4．“1x =”是“210x -=”的
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由“1x =”⇒ “2
10x -=”，但后者得不到前者，因此前者是后者的充分不必要条件。

5．函数2
cos 2
2y x x x π
π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是
【答案】B
x
y
π
2
π2
O
x
y
π
2
π2
O
A B
C
D
【解析】当[,]22
x ππ
∈-
时，cos 0x ≥，所以0y ≥，因此选B 。

6．已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}
2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素
x ，则 “x M N ∈I ”的概率是
A ．
110
B ．
16
C ．
3
10
D ．
12
【答案】A
【解析】这是个几何概型，事件的概率与所对应的长度有关。

Q [1,2]N =，[2,8]M =-，
∴[1,2]M N =I 。

事件“x M ∈”所对应的长度是10；事件“x M N ∈I ”所对应的长
度是1；因此，事件“x M N ∈I ”的概率是
110。

7．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为 A ．
15 B ．25 C ．4
5
D
【答案】B
【解析】由12PF F ∆的周长2214a c +=，所以5a =，即25
e =。

8．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,x y x y y --≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则2z x y =-的最小值为
A ．4
B ．1
C ．0
D ．1- 【答案】D 【解析】
如图约束条件确定的是一个三角区域，由2z x y =-，所以2y x z =-表示一条斜率为2、
与y 轴的截距是z -的直线，要求z 的最小值，就是求z -的最大值，可见只有直线过约束条件对应区域的点A (2,5)时，z -取得最大值，z 取得最小值，即min 2251z =⨯-=-。

9．设,m n 为两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若β//,//m n m ，则β//n B ．若αα//,//n m ，则n m // C ．若β⊥m n m ,//，则β⊥n D ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα// 【答案】C
【解析】A 项不对，因为还有一种情形n β⊂；B 项不对，有以下情形m n I 或m 与n 异面；D 项不对，有以下情形αβI ；C 项正确，Q m β⊥∴m 必与β内的两条相交直线垂直，
Q //m n ∴n 必与β内的两条相交直线垂直，∴n β⊥。

10．已知点()0,0O ，()1,2A ,()3,2B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:30l x y +-=与圆C 的位置关系是
A ．相交且过圆心
B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离 【答案】B
【解析】以AB 为直径的圆的标准方程是2
2
(2)(2)4x y -+-=
，则直线到圆的距离是
22
d r =
=
<=，因此直线与圆相交；圆心(2,2)不在直线上，即选B 。

11．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N L 是线段0n A A 的n 等
分点，则011+n n OA OA OA OA -+++u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r
L 等于
A ．5n
B ．10n
C ．()51n +
D ．()101n +
【答案】C
【解析】由定比分点公式：Q 01111
n A A A A n =
-u u u u u r u u u u u r ∴1110617
6611(,)(,)111111n n n A n n n n +⨯+⨯+--==++--
同理可得66(,
)(1)i i n i
A i n n n
+=≤≤， Q 0663(1)n n n n n +++=+L L ，0664(1)n n n n n n n n
++++++=+L L
∴01(3(1),4(1))n OA OA OA n n +++=++u u u u r u u u r u u u u r L L
∴015(1)n OA OA OA n +++=+u u u u r u u u r u u u u r
L L 。

12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()
lg 1010,x y x y *=+,x y ∈R .对任意实数
,,a b c ，给出如下结论：
①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】①项正确，Q lg(1010)a
b
a b *=+
∴lg(10
10)
()lg(1010)lg(101010)a
b c a b c a b c +**=+=++，
同理()lg(101010)a
b
c
a b c **=++∴()()a b c a b c **=**；同样可验证②项正确；③项正确，因为()()lg(10
10)lg[10(1010)]lg(1010)a c
b c c a b a b a c b c c +++*+=+=+=++，
并且()lg(1010)a
b
a b c c *+=++，所以()()()a b c a c b c *+=+*+。

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取
14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人． 【答案】8
【解析】男运动员占所有运动员的比率是：
47，按性别分层抽样男运动员应抽取4
1487
⨯=人。

14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，8b =，C=3
π
，则c = ．
【答案】7
【解析】由余弦定理：222
122a b c ab
+-=，解即得7c =。

15．若函数2,0,
()ln ,0
x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围
是 ．
【答案】01a <≤
【解析】如图0a =时函数()f x 的图象，要使函数()f x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是：01a <≤。

22781011321810341421233333333⨯+⨯-+++=+++=-= L L
2231323231
3333
n n m m m n ++--++++=-L L 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；
（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．
【解析】解：(Ⅰ)因为1
1=+7+75+9+95=8=858555
x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B ，得17x y +=． ① 因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=
4+8+0.25+0.25+855
x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由2
2
=A B s s ，得
22
8+8=1x y --（）（）． ② 由①②解得89x y =⎧⎨
=⎩，，或98.
x y =⎧⎨=⎩，
因为x y <，
所以8,9x y ==．
(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:
()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ，
()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ，记“2件都为正品”为事件C ，
则事件C 包含以下6个基本事件：
()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B 所以63()105
P C =
=，即2件都为正品的概率为3
5
. 18．(本小题满分12分)
已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ．
（Ⅰ）求12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）试写出一个函数()g x ，使得()()cos2g x f x x =，并求()g x 的单调区间． 【解析】解：(Ⅰ)因为(
))4
f x x π
=
+，
所以121243f ππππ⎛⎫⎛⎫
=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(Ⅱ)()cos sin g x x x =-. 下面给出证明：
因为()()2
2
(cos sin )(sin cos )cos sin cos2,g x f x x x x x x x x =-+=-=
所以()cos sin g x x x =-符合要求． 又因为(
)cos sin 4g x x x x π⎛
⎫=-=+ ⎪⎝
⎭，
由222,4
k x k π
ππππ+<+
<+得3722,44
k x k ππππ+
<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244
k k ππππ⎛
⎫
++ ⎪
⎝
⎭
，k ∈Z .又由224k x k ππππ<+<+,得3224
4
k x k π
π
ππ-
<<+
, 所以()g x 的单调递减区间为3224
4
k k π
π
ππ⎛⎫
-+
⎪⎝
⎭
，，k ∈Z . 19．(本小题满分12分)
某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面11AB C ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）若E 是线段1AB 上的一点，且满足111119
1
C B A ABC C AA E V V --=，求AE 的长．
侧(左)视图
正(主)视图
1
A
【解析】解：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，
1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．
1111C B A AA 平面⊥Θ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， 11111111,A C A AA C A C B =⊥I Θ，1111ACC A C B 平面⊥∴．
又1111C AB C B 平面⊂Θ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴． （Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，
由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高.
1111191
C B A ABC C AA E V V --=Θ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆
1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫
∴
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得32=EF .
在Rt ABC ∆中，AB ===，
在1Rt ABB ∆中，16AB ==
=，
由
1
11C B EF
AB AE =， 得22
32
6C B EF
AB AE 1
11=⨯=
⋅=
.
20．(本小题满分12分)
某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？
（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年的SO 2年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围.
（参考数据9505.0328
≈，9559.03
2
9≈）． 【解析】解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，
依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列， 所以()
55159.3(0.3)=43.52
y ⨯-=⨯+
⨯-（万吨）． 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．
（2）由已知得， 2012年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），所以2012年至2020
年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，由题意得8
91p ⨯-（）＜6，即1p
-＜8
3
2
，所以10.9505p -<，解得 4.95%p >. 所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p << 21．(本小题满分12分)
已知函数()2
e x
f x ax bx =++．
（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()
(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .
若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e x
f x x =-，()e 1x
f x '=-，
所以，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>； 所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．
（Ⅱ）因为()2x
f x e ax b '=++，
所以()()
,P t f t 处切线的斜率()2t
k f t e at b '==++，
所以切线l 的方程为()()()22t t y e at bt e at b
x t -++=++-，
令0x =，得()2
1t
y t e at =-- ()01t <<.当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，
只需()2
11t
t e at --<，即()2
110t
t e at -++>()01t <<.
令()()2
11t
g t t e at =-++，
则()
()2t g t t e a '=+，
因为01t <<，所以1t e e <<， ①若21a ≥-即1
2
a ≥-
时，20t e a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增， 所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-
满足题意.②若2a e ≤-即2
e
a ≤-时，20t e a +<，
所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，
所以()(0)0g t g <=，所以2
e
a ≤-不满足题意. ③若21e a -<<-即1
22
e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.
则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：
t (0,ln(2))a - ln(2)a - (ln(2),1)a -
()g t '
-
0 +
()g t
递减
极小值
递增
所以()()ln(2)00g a g -<=，所以22
a -<<-不满足题意. 综合①②③，可得，当1
2
a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.
22．(本小题满分14分)
某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘
制某抛物线2
:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S 的坐标(),S S x y ，如图．
（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．
（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，
所以2p =，因此，抛物线E 的方程2
4y x =．
（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意可设直线:1l my x =-，
由241
y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①
又因为11:AS
y l y x x =，2
2:AT y l y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r ，21121,y NS x y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭u u u r ，
又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫
++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
22
122112*********
4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()21121212
1
44y y y y y y y y -=-+()22
121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， ②
把①代入②，得()22
1212121604y y y y y y ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以//MT u u u r NS u u u r ，
又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．
（Ⅲ）设抛物线2
:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线
E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．。