初中九年级数学教案-分类解直角三角形-优质课比赛一等奖

分类解直角三角形
解直角三角形是初中数学的重要内容，也是中考命题的热点，必须认真学习好，要复习好解直角三角形的内容要做出：理清类型，掌握方法，解直角三角形可分如下几种类型．
一、基本型
题中给出直角三角形，且知直角三角形中的边、角，可直接解此三角形
例1如图1，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF ．
（参考数据：sin40°≈，cos40°≈，tan40°≈结果精确到） 解：在Rt △CDF 中，CD =，∠DCF =40° ∴DF =CD ·sin40°≈×≈
在Rt △ADE 中，AD =BC =，∠ADE =DCF =40° ∴DE =AD ·cos40°≈×≈ ∴EF =DFDE ≈≈（m ）
即车位所占街道的宽度为 m
二、创造条件型
题中虽然有直角三角形，但不能直接去解，须创造条件才能解直角三角形．
例2 已知△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，AB =2，CD =23
，求∠B 、∠A 度数．
解：由已知可推得CD 2=AD ·DB ，设AD =，则DB =2-
∴（23
）2
=·（2-），解得=23或=21
当AD =23
时，tan A =AD CD =33
∴∠A =30°，∠B =90°-30°=60°
当AD =21
时tan A =AD CD =
3
∴∠A =60°，∠B =30°
A E D C F B
）
图1
三、构造直角三角形
有些三角形不是直角三角形，需通过作垂线构造出直角三角形，再解直角三角形． 例3如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =45°，
BE ⊥CD 于点E ，AD =1，CD =22
求：BE 的长
解：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ，
∵AD ∥BC ，所以四边形ABFD 是平行四边形． ∴BF =AD =1
由DF ∥AB ，得∠DFC =∠ABC =90°
在Rt △DFC 中，∠C =45°，CD
=2
由cos C =CD CF
，求得CF =2
∴BC =BFFC =3
在△BEC 中，∠BEC =90°，sin C =BC BE
，求得BE =2
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四、应用型
用解直角三角形解决应用题，其思路是：实际问题（画图）→（转化）数学模型（解直角三角形）（设元）→（转化）解方程．
例4 如图4，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°，铁塔底部B 的仰角为45°，已知塔高AB =20m ，观测点E 到地面的距离EF =35m ，求小山BD 的高（精确到，3≈）
解：如图，过点E 作E G ⊥AD 于点G ，由已知，得∠AE G=60°，∠BE G=45°， 在Rt △BE G 中，B G=E G 在Rt △AE G 中，
由tan ∠AE G=EG AG
，
得A G=
3E G=3B G ，
又A G=ABB G=20B G ∴
3B G=20B G ，
即B G=
1320
=10（
31）
∵BD =B GG D ，G D =EF =35 ∴BD =10（
31）35=35=≈（m ）
答：小山的高约为．
五、综合型
B 图2
图3
这类题目跨度大，涉及面广，有些题用到代数、几何、三角函数知识，因而这类题称为解三角形的综合题型．
例5如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠BCD =90°且AB =1，BC =2，tan ∠ADC =2，
（1）求证：DC =BC
（2）E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC =∠FBC ，DE =BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE ∶CE =1∶2，∠BEC =135°时，求sin ∠BFE 的值． （1）证明：过A 作DC 的垂线A M 交DC 于M ，则A M=BC =2
又tan ADC =2，所以D M=22
=1
因为M C =AB =1，所以DC =D MM C =2，即DC =BC （2）等腰直角三角形
证明：∵DE =BF ，∠EDC =∠FBC ，DC =BC ，所以△DEC ≌△BFC ∴CE =CF ，∠ECD =∠BCF ，所以∠ECF =∠BCF ∠BCE =∠ECD ∠BCE =∠BCD =90°，即△ECF 为等腰直角三角形
（3）解：设BE =，则CE =CF =2，所以EF =22，
∵∠BEC =135°，又∠CEF =45°，∴∠BEF =90° ∴BF =
k k k 3)22(22=+
∴sin ∠BFE =k k 3=31
A B C D
E F M。