2024-2025学年河南省开封市杞县高中宏志班高二(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年河南省开封市杞县高中宏志班高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =2+i ，则i 2025
−
z
=( )
A. 15−2i
5
B. −15−2i
5 C. 15+2i
5
D. −15+2i
5
2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosB +cosC =2sinAsinB ，a =
3b ，则C =
( )A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π
2
3.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂β，m//n ，则α//β B. 若m ⊥α，m ⊥β，则α⊥βC. 若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D. 若α⊥γ，β//γ，则α⊥β
4.向量a =(cos20°,sin20°)与b =(cos10°,sin10°)的夹角为( )A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
5.数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是( )A. 4.5
B. 5.5
C. 6
D. 8
6.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若m//n ，m ⊂α，则n//αC. 若m//α，m//β，则α//β
D. 若m//α，m ⊥β，则α⊥β
7.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是( )A. 165.5
B. 166
C. 166.5
D. 168
8.在如图所示的电路中，三个开关A ，B ，C 闭合与否相互独立，且在某一时刻A ，B ，C 闭合的概率分别为
12，13，1
4
，则此时灯亮的概率为( )A. 34 B. 5
8C. 1
2 D. 3
8
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量a，b满足(a+2b)⊥a，则以下说法正确的是( )
A. 若a=(2,m)，b=(−1,3)，则m=0或−23
B. 若|a+b|=5，则|b|=5
C. 若|a|=5，|b|=2，则向量b在向量a上的投影数量为5
2
D. 向量b在向量a上的投影向量为−a
2
10.某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工调查，根据这100
人的服务时长(单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图.则( )
A. a的值为0.018
B. 估计员工平均服务时长为45小时
C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时
D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线A1B与EF所成的角的大小为60°
B. 直线AD1//平面DEF
C. 平面DEF⊥平面BCC1B1
D. 直线CD与平面DEF所成角的正弦值为1
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=1，|b|=2，则|a+b|=______．
13.某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时
长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开
学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中
这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长(单位：小时)范
围是[2,12]，数据分组为[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12].这100名同学中，
今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为___人.
14.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB =BC =40米，则云台阁的高度为______米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知平面向量a =(2,1)，b =(3,x)．(1)若a //b ，求|b |；
(2)若a ⋅(b−a )=0，求cos 〈a +b ,b〉．16.(本小题15分)
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，B =120°．(1)若a =1，b = 3，求A ；
(2)若b =2 3，求△ABC 周长的最大值．17.(本小题15分)
某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分(95分及以上为“消防之星”)，共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组[10,20)，第二组[20,30)，第三组[30,40)，第四组[40,50)，第五组[50,60]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率；
(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差．附：
s 2
=1m +n {m[s 21+(−x 1−−x )2]+n[s 2
2+(−x 2−−x )2]}
18.(本小题17分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，B1C与BC1交于点O，M为线段AC的中点，B1C⊥AB，AB=2BC=2A A1=2．
(1)求证：OM//平面ABB1A1；
(2)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
(3)求三棱锥B1−BOM的体积．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=CD，点E为棱PC的中点，点F为棱PB上一点．
(1)若点F为PB中点，求证：EF//平面PAD；
(2)若点F满足EF⊥PB，
(i)求证：DF⊥PB；
(ii)求直线PD与平面DEF所成角的正切值．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.A
5.C
6.D
7.B
8.D
9.ABD 10.ACD 11.ABD 12. 7 13.68 14.8 15
15.解：(1)平面向量a =(2,1)，b =(3,x)，
因为a //b ，所以2x−3=0，解得x =32，所以b =(3,3
2)；所以|b |=
32+(32)2=
32
5；
(2)因为a ⋅(b−a )=a ⋅b−a 2
=6+x−5=0，解得x =−1；所以b =(3,−1)，a +b =(5,0)，所以cos 〈a +b ，b〉=
(a b )b
|a +b ||b |
15
10×5=3
10
10． 16.解：(1)a =1，b = 3，B =120°，
则a sinA =b
sinB ，即sinA
=asinB b =1×
3
2
3
=1
2，
B =120°，则A =30°；
(2)b =2 3，B =120°，
则b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2+ac =(a +c )2−ac ≥(a +c )2−
(a +c )24=3(a +c )2
4
，解得a +c ≤4，
当且仅当a=c=2时，等号成立，
故△ABC周长的最大值为4+23．
17.解：(1)估计这些人的平均年龄为：
15×0.05+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.1=34.5(岁)；
∵0.05+0.35+0.3=0.7<0.8，0.05+0.35+0.3+0.2=0.9>0.8，
∴估计这些人的第80百分位数为：
40+0.8−0.05−0.35−0.3
0.02
=45(岁)；
(2)∵第三组，第四组，第五组的频率之比为：0.3：0.2：0.1=3：2：1，
∴抽取的6人依次为3人；2人；1人，分别依次设为a，b，c；1，2；A，
则再从这6人中随机抽取2人所得样本空间为：
Ω={(a,b)，(a,c)，(a,1)，(a,2)，(a,A)，(b,c)，(b,1)，(b,2)，(b,A)，(c,1)，(c,2)，(c,A)，(1,2)，(1,A)，(2,A)}，
设A=“抽取的2人年龄在不同组“，
则A={(a,1)，(a,2)，(a,A)，(b,1)，(b,2)，(b,A)，(c,1)，(c,2)，(c,A)，(1,A)，(2,A)}，
∴P(A)=n(A)
n(Ω)=11
15
；
(3)∵第三组与第四组的频率之比为0.3：0.2=3：2，
∴第三组与第四组的加权平均数为：36×3
5+46×2
5
=40，
∴第三组与第四组的加权方差为[2+(36−40)2]×3
5+[4+(46−40)2]×2
5
=26.8．
18.解：(1)证明：连接AB1，因为直三棱柱ABC−A1B1C1，
BB1⊥AB，BB1⊥BC，又BB1=AA1=BC，
∴BB1C1C是正方形且O为线段B1C的中点，
又M为线段AC中点，
∴MO//AB1，
又OM⊄平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，
∴OM//平面ABB1A1；
(2)证明：∵BB1⊥AB，B1C⊥AB，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BCC1B1，
又AB⊂平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面BCC1B1；
(3)∵M为线段AC中点，
∴V B
1−BOM=V M−BB1O=
1
2
V A−BB
1
O=
1
2
×1
3
S△BB
1
O⋅AB=
1
6
×1
2
×1×1
2
×2=1
12
，
∴即三棱锥B1−BOM的体积为1
12
．
19.解：(1)证明：△PBC中，点E，F分别为棱PC，PB的中点，
∴EF//BC，
又四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴EF//AD，
又EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴EF//平面PAD；
(2)证明：(i)在四棱锥P−ABCD中，
PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
则BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又∵DE⊂平面PCD，
∴BC⊥DE，
又在三角形PCD中，PD=CD，E为PC的中点，
∴DE⊥PC，
又∵BC⊥DE，PC∩BC=C，
PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴DE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，
∴DE⊥PB，又EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF，又∵DF⊂平面DEF，
∴PB⊥DF；
(ii)由(i)可知∠PDF即为直线PD与平面DEF所成的角，在△PDB中，PD⊥DB，DF⊥PB，
则∠PDF=∠PBD，
又PD=CD，∴BD=2PD，
∴tan∠PDF=tan∠PBD=PD
BD =2
2
，
故直线PD与平面DEF所成的角的正切值为2
2
．。