天津河东区第九十八中学高三数学理期末试卷含解析

天津河东区第九十八中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合正奇数和集合，若，则M中的运算“”是（）
A．加法B．除法C．乘法D．减法
参考答案：
C
略
2. 设函数f（x）=+lnx ，则（）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
参考答案：
D
3. 命题P:若，则与的夹角为锐角；命题q若函数在及上都是减函
数，则在上是减函数，下列说法中正确的是（）
A. “p或q ”是真命题
B. “ p或q ”是假命题
C.为假命题
D.为假命题
参考答案：
B
略
4. 已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（）
①若m∥n，n?α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，则n⊥α
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出；②利用面面垂直的判定定理即可判断出；
③利用线线的位置关系即可得出；
④利用面面垂直的性质定理即可得出．
【解答】解：①若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，因此不正确；
②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；
④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．
综上可知：只有②④正确．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（8，0），以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据OA为圆的直径得OB⊥AB，故有，再根据点斜式可得直线方程．
【详解】根据OA为圆的直径得OB⊥AB，∴
由点斜式可得直线AB的方程为y-0=-（x-8），即x+2y-8=0．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
6. 若方程有两个解，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
7.
设对数函数，则下列等式正确的
是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
答案：B
8. 从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).
A．B．C．D．
参考答案：
D
9. 已知点，，点的坐标x，y满足，则的最小值为（）
A．B．0 C．D．－8
参考答案：
A
画出出可行域如图所示，，表示点到可行域的距离的平方减去8的最小值，到可行域的最小距离即为到直线
，则的最小值为故选A.
10. 一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84πB．96πC．112πD．144π
参考答案：
C
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，利用勾股定理求出R2，由此能求出球O的表面积．
【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，
∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，
设球O的半径为R，
则R2=（）2+（）2=28，
∴球O的表面积S=4πR2=112π．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 执行如右图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出
的值为
参考答案：
15
12. 为了了解
名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为
的样本，则分段的
间隔为______________.
参考答案：
25
13. 在△ABC 中，a ＝
，b ＝
，B ＝60°，则A
等于
参考答案：
14. （
5分）（2015?浙江模拟）某空间几何体的三视图（单位：
cm ）如图所示，则其体积是 cm 3，表面积是 cm 2
．
参考答案：
，
2
【考点】： 由三视图求面积、体积． 【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： 由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥，由三视图中的数据和间接法求出几何体的体积，再由三角形的面积公式求出表面积．
解：由三视图可得，该几何体是棱长为1的正方体的内接正四棱锥， 所以此正四棱锥的体积V=1﹣4×=cm 3
，
由图可得正四面体的棱长是，
所以表面积S=4××
=2
cm 2．
故答案为：；2．
【点评】： 本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积，解题的关键是由三视图正确还原几何体，并求出几何体中几何元素的长度，考查空间想象能力．
15. 设sinx+cosx=﹣（其中x∈（0，π），则 sin2x=
； cos2x 的值为
．
参考答案：
考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．
专题：三角函数的求值．
分析：由sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），可得cosx ＜0，sin2x=﹣，继而有（sinx ﹣cosx ）2
=1﹣
sin2x=，于是利用（sinx+cosx ）（sinx ﹣cosx ）=﹣cos2x 即可求得答案．
解答： 解：∵sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），
∴cosx＜0，且1+2sinxcosx=，
∴sin2x=﹣．
∴（sinx ﹣cosx ）2
=1﹣sin2x=，
∴sinx﹣cosx=
，与已知sinx+cosx=﹣联立，
∴（sinx+cosx ）（sinx ﹣cosx ）=﹣cos2x=﹣×
=﹣
，
∴cos2x=
，
故答案为：
；
．
点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．
16. 已知等比数列
中，
，则
______ ．
参考答案：
由
，可得
.
17. 对任意的都有
,且
满足:
,则
（1）
; （2）
．
参考答案：
（1）2 （2）19
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）己知向量，记.
(I)若，求的值；
( II)在锐角
ABC 申，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(,
求函数
的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）
=
=
因为
，所以
……………………………………4分
……………………6分
（Ⅱ）因为
由正弦定理得 ……………………7分 所以
所以
因为
，所以
，且
所以
……………………8分
所以
，因为
为锐角三角形
所以且 ，即
所以
且
，所以
……………………9分
所以 …………………10分
又因为=，所以……11分
故函数的取值范围是. ……………………12分
19. 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I ）已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：
且X 1的数字期望EX 1=6，求a ，b 的值；
（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望.
（III ）在（I ）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”=
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
参考答案：
（I ）
，
；（II ）4.8；（III ）乙工厂的产品更具可购买性，理由见详解.
【详解】(1)∵EX 1=6，∴5×0.4+6a +7b +8×0.1=6， 即6a +7b =3.2，
又由X 1的概率分布列得0.4+a +b +0.1=1，即a +b =0.5，
由6a +7b =3，2a +b =0.5，解得
，；.
(2)由已知得，样本的频率分布列如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X 2的概率分布列如下：
∴EX 2=3P (X 2=3)+4P (X 2=4)+5P (X 2=5)+6P (X 2=6)+7P (X 2=7)+8P (X 2=8)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8，
∴乙厂产品的等级系数的数学期望等于.
(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,∴其性价比为66=1. ∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,∴其性价比为4.84=1.2. 据此,乙厂的产品更具可购买性.
20. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P －
ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB⊥平面ABCD ，
PA⊥PB，BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP∥平面BDE ； （2）求证：BE⊥平面PAC ．
参考答案：
证：（1）设AC∩BD ＝O ，连结OE ． 因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点． 因为E 是PC 中点，所以
OE∥AP．…………………………………………4分
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面
BDE．…………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面
PAB．………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面
PBC．…………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面
PAC．…………………………………………14分
21. 已知数列中，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．
参考答案：（1）略（2）（3）
∴数列是首项、公比均为2的等比数列． (4)
分
（Ⅱ）解：∵是等比数列，首项为2，通项，故………………………………………………………6分
，
当时，符合上式，.......................................................................................7分∴数列的通项公式为． (8)
分
考点：累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题.
【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万
注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和.
22. 定义在R上的单调函数f(x)满足 f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案：
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
略。