江西省赣中南五校高三数学上学期开学摸底考试试题

赣中南五所重点中学2017届高三上学期开学摸底数学试卷
第I卷选择题60分
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1.已知集合H={}，集合K={1,1.5,2,0,-1,-2}，则H∩K为（）
A. {1,2}
B.{1,2,0,-1}
C.(-1,2]
D.{1.5,0}
2. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）
A.第504个正方形的左下角
B.第504个正方形的右下角
C.第505个正方形的左上角
D.第505个正方形的右下角
3. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F 两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结
CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=.上述结论中正确的个数为（）
A．2 B.3 C.4
D.5
4. 设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )
A. B. C.
D.
5. 已知函数.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6. 若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）
A. B. C.
D.
7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当
于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥
体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）
A． B． C．D．
8. 函数f(x)＝2x＋sin x的部分图像可能是( )
9. 已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O三点，且.关于的方程
的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C. 锐角三角
形 D. 等腰直角三角形
10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l ∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是（）
A.①②
B.②④
C.③④
D.①③
11. 已知F1、F2分别是双曲线（，）的左、右焦点，且F2是抛物线
（p＞0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P．若线段的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（）
A． B． C．
D．
12. 若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）
A.1-i
B.1+i
C. -1-i
D. i-1
第II卷非选择题90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值
为___________.
14.已知等差数列{a n}中，a1=1，S11=33，则公差d等于______________.
15. 函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f
（x）极值点的_____________条件.
16. 已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值
18．（12分）如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，
对角线分别交、于、
两点．将折起，使
重合于点，构成如图2所示
的几何体．
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）试探究：在图1中，在什么
位置时，能使折起后的几何体中／／平面，并给出证明．
19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．
21.（12分）已知函数。

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）证明：若a<5，则对任意有。

22．（10分）已知(a是常数，a∈R)
（Ⅰ）当a=1时求不等式的解集；
（Ⅱ）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
高三上学期开学数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. A
2.C
3.B
4.A
5.B
6.C
7. B 8.A 9.A 10.D 11.A 12.A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． -4 14．2/5．
15．必要不充分 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）(1)∵函数的最大值为3,∴即
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期为
∴,故函数的解析式为
(2)∵
即
∵,∴
∴,故
18．（12分）（Ⅰ）,………………………………2分又，………………………………4分
面．………………………………5分
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，面．………………………………6分
证明如下：当点F为BC的中点时，
在图（1）中，分别是，的中点，
所以，………………………………8分
即在图（2）中有．………………………………9分
又，，………………………………11分
所以面．………………………………12分
19．（12分）
解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P（B）=．
20．（12分）
解（Ⅰ）由题意：且，又c2=a2﹣b2
解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为（1）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
（*）
所以
=
由，得
又方程（*）要有两个不等实根，
所以m=±2．
21.（12分）（Ⅰ）的定义域为
当时，即时，的单调增区间为，；单调减区间为．当时，即时，的单调增区间为
（Ⅱ）要证：对任意有。

不防设，即证；即证
设，
即证当时，．即证在单调递增．
而
22．（10分）
（Ⅰ）
∴的解为．
（Ⅱ）由得,．
令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，
所以，函数有两个不同的零点．。