高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积第三课时成

高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积第三课时成长训练
苏教版必修4
夯基达标
1.已知a =（1，-1），b =（2，3），则a ·b 等于（ ）
A.5
B.4
C.-2
D.-1
解析：a ·b =(1,-1)·(2,3)=2-3=-1.
答案：D
2.平面上有三个点A （2，2），M （1，3），N （7，k ），若∠MAN=90°,则k 的值为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：因为AM =(-1,1),AN =(5,k-2),·AN =0,所以-5+(k-2)=0,即k=7.选B. 答案：B
3.若a =（2，3），b =（-4，7），则a 与b 方向的投影为 （ ） A.565 B.65 C.5
13 D.13 解析：a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ,b 〉=|a |·5138217)4()7,4()3,2(||||||22⨯-=+--•=•=•b b a b a b a =5
65513
=. 答案：A
4.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （5，2），B （3，4），C （-1，-4），则此三角形为（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形 解析：=(-2,2), =(-4,-8), =(-6,-6), ∴·=(-2,2)·(-6,-6)=12-12=0.
∴∠CA B=90°.||≠|AC |,故△ABC 为直角三角形.
答案：A
5.若a =（2，3），b =（-1，-2），c =(2,1),则（a ·b ）·c =____________，a ·（b ·c ）=____________. 解析：a ·b =(2,3)·(-1,-2)=-2+(-6)=-8.
∴(a ·b )·c =-8(2,1)=(-16,-8),
b ·
c =(-1,-2)·(2,1)=-2-2=-4,
a ·(
b ·
c )=-4(2,3)=(-8,-12).
答案：(-16,-8) (-8,-12)
6.已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A （0，-1），B （1，2），C （4，1），则△ABC 的形状是_______________.
解析：=(1,3),=(4,2),
BC =(3,-1),|AB |=|BC |=10,AB ·BC =(1,3)(3,-1)=3-3=0,
所以△ABC 为等腰直角三角形.
答案：等腰直角三角形
7.已知向量a =（-1，2），b =（3，k ），若a ⊥b ，则k=___________.
解析：a ·b =(-1,2)·(3,k)=-3+2k=0,即k=
23. 答案：2
3 8.已知△ABC 中，A （-1，2），B （3，1），C （2，-3），试判定△ABC 的形状，并证明你的结论.
解析：由题意有=(4,-1), AC =(3,-5), =(-1,-4),∴·=(4,-1)(-1,-4)=0且||=||=17.故△ABC 为等腰直角三角形.
9.已知点A （1，-2），B （-3，1），C （5，2），求cosBAC 的值.
解析：将∠B AC 看作是向量、的夹角,由数量积的定义可求解.∵A(1,-2),B(-3,1), ∴=(-4,3),=(4,4). ∴·AC =(-4,3)·(4,4)=-16+12=-4, ||·||=220443)4(2222=+•+-. ∴cos∠BAC=cos〈AB ,AC 〉10
22454
-=⨯-=. 10.已知a =（3，-1），b =（2
3,21）,且存在实数k 和t ，使得x =a +(t 2-3)b ,y =-k a +t b ,且x⊥y.试求t
t k 2
+的最小值. 解
：由题意可得|a |=22)1()3(-+=2,|b |=,1)23(
)21(22=+a ·b =3·21-1×23=0,故有a ⊥b . 由x⊥y,知［a +(t 2-3)b ］·［-k a +t b ］=0,即-k a 2+(t 3-3t)b 2+(t-t 2k+3k)a ·b =0.
整理可得k=4
33t t -. 故t t k 2+=41 (t 2+4t-3)= 41 (t+2)2-4
7,
即当t=-2时,t t k 2+有最小值为-47. 走近高考 11.(2004全国高考)
已知平面l 上L 的方向向量e =(-54,5
3),点O （0，0）和A （1，-2），在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O =λe ,其中λ等于（ ）
A.511
B.-5
11 C.2 D.-2 解法一：由向量在已知向量上的射影定义可得λ=|OA |·cos 〈e ,OA 〉
=5.5||||=OA e ·.2565451)2,1()53,54(-=--=⨯-•-选D. 解法二:利用数形结合的思想,作图可令e 过原点,故11A O 与e 方向相反,排除A 、C,检验B 、D,知D 正确.选D.
答案：D
12.(2004湖北高考)平面向量a ，b 中，已知a =（4，-3），|b |=1且a ·b =5，则向量b =___________.
解析：由a =(4,-3)，知|a |=5，又有a ·b =|a |·|b |·c os 〈a ,b 〉=5c os 〈a ,b 〉=5,从而有c os 〈a ,b 〉=1,即〈a ,b 〉=0°,即a ，b 共线，且同向，所以有b =)53,54(||||-=•a a b . 答案：)5
3,54(-。