2020-2021成都玉林中学高中必修五数学上期中一模试题及答案

2020-2021成都玉林中学高中必修五数学上期中一模试题及答案
一、选择题
1．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1
n n n
a b a +=
．若10112b b =，则21a =（ ）
A ．92
B ．102
C ．112
D ．122
2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸 B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
3
)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．3
D 4．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12
B ．
10
C ．
D ．5．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
6．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A
．10 km
B
km
C ．
D ．
7．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111
()(233
n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）
A ．32
n
n a n =+
B ．2
3n n
n a +=
C ．a n =n+2
D ．a n =（ n+2）·3n
8．20
,{0,0x y z x y x y x y y k
+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-3
9．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92 C ．5 D ．52
10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
22234
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a
=，
4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒
D ．60B =︒
12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
二、填空题
13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的取值范围为
_______．
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *
=++∈，,求n a =.__________．
15．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
16．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 17．已知函数()3a
f x x x
=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.
18．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，
1||2||a a b
+取得最小值. 19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．在
中，若
，则
__________．
三、解答题
21．在ABC V 中，5cos 13A =-
，3cos 5
B =．
(1)求sin C 的值；
(2)设5BC =，求ABC V 的面积．
22．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.
（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .
23．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列
且b =
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值． 24．数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=. （1）求数列{}n a 通项公式；
（2）若13n
a n
b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求{}n b 的通项公式及前n 项和. 25．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11n n n n a b a a ++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明1
4
n T <.
26．已知函数()f x a b =⋅v v
，其中()
()2cos 2,cos ,1,a x x b x x R ==∈v v
．
（1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(
),,,2,a b c f A a ==2b c =，求
ABC ∆的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1
n n n
a b a +=， ∴32
12212
a a
b a b a a =＝
，＝4312341233a a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，
…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，
，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
=
当且仅当36a a -=+，即
3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
4．A
解析：A 【解析】
由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴2
5735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】
作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
所对应的可行域（如图ABC V ），
变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
6．D
解析：D 【解析】
【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题可知，将111
()(233
n n n a a n -=
+≥，两边同时除以，得出
，运用累加法，解得
，整理得2
3n n
n a +=
； 考点：累加法求数列通项公式
8．D
解析：D 【解析】
作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,
平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6
{
x y x y +=-=得A(3,3)，
∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{
20
y k x y ==+=,解得B(−6,3).
此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.
点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：
b z
y x a b =-
+，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
设f （x ）1221x x
=+-，根据形式将其化为f （x ）()1
1522
21x x x x
-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13
=时()1
122
1x x x x
-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f
（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（12
21x x
+-）min ，由此可得实数m 的最大
值． 【详解】
解：设f （x ）1
1
222211x x x x
=+=+--（0＜x ＜1） 而122
1x x
+=
-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1
152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0
∴()1122
1x x x x -+≥-()11221x x x x
-⨯=-2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13
=时()1
1221x x x x
-+-的最小值为2
∴f （x ）1221x x =
+-的最小值为f （13）92
= 而不等式m 1221x x ≤
+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（12
21x x
+-）min 因此，可得实数m 的最大值为9
2
故选：B ． 【点睛】
本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
222S b a c =
+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
将已知代入正弦定理可得1
sin 2
B =
，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】
解：60A =︒Q ，a
=4b =
由正弦定理得：sin 1
sin
2b A B a =
==
a b >Q 60B ∴<︒
30B ∴=︒ 故选C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以94
5
=a ，故选C ．
【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
二、填空题
13．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划 解析：(,1]-∞
【解析】
试题分析：由题意，由2{30
y x
x y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在
点(,)x y 满足约束条件30,
{230,,
x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围
(,1]-∞．
考点：线性规划．
14．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a == 所以11S a ≠ 所以 4,1
41,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。

15．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =
,所以3
AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632x
x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
16．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝
a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4
，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1
＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<
2n n S S <8
7，可得117<(12
)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 17．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30
【解析】 【分析】
先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.
【详解】 ∵()3a
f x x x
=+
+，*x ∈N ， ∴()222
1a x a
f x x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意，
当0a >时，令()0f x '=，解得x =
当0x <<
()0f x '<，函数()f x 在区间(上单调递减，
当x ()0f x '>，函数()f x 在区间)
+∞上单调递增，
∴当x =
()f x 取最小值，又*x ∈N ，
∴x ()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值，
∴56<
<或45<≤，
∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354
a a
++≤++， 解得2030a ≤≤.
故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】
本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.
18．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-
【解析】 【分析】
利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b
++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=，
所以
1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++， 又因为0b >，||0a >，
所以
||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，
1||2||a a b +的最小值是15
144
+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144
-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,
a
b a b
a b a ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩
即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.
19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)
解析：9 【解析】
解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫
=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪
⎝⎭
， 故：11
187
1222
n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，
由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502
n n ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，
解得：9n = .
即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．
20．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a ：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：
【解析】 ∵由正弦定理可得
，∴
，令
，
，
（
），利用余弦定理有
，∵
，∴
，故答
案为
.
三、解答题
21．（1）1665；（2）83
. 【解析】 【分析】
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式
求出结果． 【详解】
(1)在ABC V 中，A B C π++=，
由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12
sin 13
A =， 由3cos 5
B =
，02B π<<，得4sin 5
B =． 所以()16
sin sin sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=
； (2)由正弦定理
sin sin AC BC
B A
=，
解得：sin 13
sin 3
BC B AC A ⋅=
=，
所以ABC V 的面积：1113168
sin 5223653
S BC AC C =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 【点睛】
本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。

22．⑴见证明；⑵()11222
n n n ++-+
【解析】 【分析】
（1）由递推公式计算可得1
2n n
b b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2n
n a n =+，分组求和可得()11222
n n n n S ++=-+
.
【详解】 （1）
()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n
++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-=
{}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）得2n n b =，2n
n a n ∴=+，
()()()()
()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++
(
)()()1
212112
2122
2
n
n n n n n +-++=
+=-+
-.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 23．（1
2
【解析】 【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值． 【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，
因为：
sin sin b a
a B A
=⇒=
2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；
ABC ∆∴
的面积1
1sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；
即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤
； 即S
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
24．（1）1n a n =-（2）()()11111333122213
n
n n n n n n S -⎛⎫- ⎪
++-⎝⎭=+=+- 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：解：（1）由已知得11n n a a +-=， 故数列{}n a 是等差数列，且公差1d =. 又32a =，得10a =，所以1n a n =-.
（2）由（１）得，1
13n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()21111
1123333
n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+.
()()11111333122213
n
n n n n n n S -⎛⎫- ⎪
++-⎝⎭=+=+-. 考点：等差数列和等比数列的求和
点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于基础题．
25．（1）31n
n a =-；
（2）证明见解析； 【解析】 【分析】
（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造
{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）
11
3111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明1
4
n T <. 【详解】
（1）223n n S n a +=Q ，
1122(1)3n n S n a ++∴++=，
两式相减得132n n a a +=+ ，
113(1)n n a a ++=+∴ ，
又111223,2S a a +==∴，
∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，
13,31n n n n a a +==-∴∴
（2）113111
()(31)(31)23131
n n n
n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭
∴
1111142314
n +=
-⋅<- 【点睛】
本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.
26．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）736
.
【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为
()sin A x B ωϕ++的形式，将x ωϕ+代入ππ2π,2π22k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦中，解出x 的范围，由此
求得函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积. 【详解】 （1）=
，
令πππ
2π22π,262
k x k -
≤+≤+解得，k ∈Z ， 函数y=f （x ）的单调递增区间是（k ∈Z ）．
（2）∵f （A ）=2，∴，即
，
又∵0＜A ＜π，∴，
∵
，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①
b=2c ，②， 由①②得， ∴．
【点睛】
本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.。