全国高中数学竞赛二试模拟训练题(53).doc

c 1
加试模拟训练题(53)
1. 在△如T 的边BC,京上分别取点只Q, S 证明以4BQP, △双的外心为顶点 的三角形与△，
幽相似.
2. 设 a 、b 、c 、d 是满足 ab+bc+cd+da= 1
------------- 4 - ---------- -I ------------- + ------------- >"! 的非负数.试证：b*c*d
a*-b <-d 3. 在大小为nXn 的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0.对 这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i 个元素加上 或减
去行的第i个元素.试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格.
+h p
4.-----------------------------------------------------------------------------若a + b^ l,(a,b) = l,p为奇素数，证明(a+b,----------------------------------------) = 1,或者p。

a + b
加试模拟训练题(53)
c 1
1. 在△如T 的边BC,京上分别取点只Q, S 证明以4BQP, △双的外心为顶点
的三角形与△，幽相似.
（夕•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》） 分析：设 Q, Q,
Q 是△43, 4BQP,
△ C 网的外心，作出六边形
O.POMS 后再由外
心性质可知
/PaEIA,
/Q0R2ZB,
/SQg/C.
:.ZPO\S+』QQRZSQQ=36亨.从而又知 ZflW
ZftWZ«5<9i=360°
将4QQQ 绕着Q 点旋转到△码Q,易判断△ KSO 捋、0：P0\,同时可得竺％K0、
:.zaaa=AKaa=- ZSK 2
=-{Aaas+AsaK) 2
=-(ZMS+ZPQ®
2 =-/ms=—A ； 2
同理有罚0炬4.故WQQs4ABC.
2. 设 a 、b 、c 、d 是满足 ab+bc+cd+da=l
----------- 4 ------------- < -------------- +-------------- > —
的非负数.试证：b*c*d a*c*d a*b*d a + b + c 3 【题说】第二十一届（1990年）IM0预选题88.本题山泰国提供.
【证】设
a s
b s
c s
d 3
----------- + ------------- 4- ------------- + -------------- b+c+d a. + c+d a*b *d a*b *c ^-b + c+d
则由柯西不等式‘3 * & (b+c+d) ’> +b a +c* 4-d 4)
熟知*a 0>+c +d) <(3a‘ +b J +c J 4-d a ) =6#'
所以
Q 一莎 -------- 江乱
>? (ab-l-bc+cd+da) =?
3. 在大小为nXn 的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0.对
这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i个元素加上或减去行的第i个元素.试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格.
【题说】第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克九年级题8.
【证】以C" k表不将第i行加到第j列上去，并从第k列减去第i行.
依次施行下列运算：
cL，C2…,2, •••,
得出一个表格，对角线上的所有元素（位于第n行、第n列的元素除外）都等于0.
考虑运算序列
C" C", C J i.j, Ci,
不难验证，应用这些运算得到的新表格，位于第i行、第j列的数等于0,而不在最后一行或最后一列的数都不变.对i = l, 2, n—1和i = l, 2, n-1,依次应用上述运算序列，得到一个表格，其中不为0的数只能位于最后一行或最后一列.因为任意一行和任意一列上各数之和都等于0（应用上述运算时，这个性质保持不变），所以最后一行和最后一列上的数也是0.
a p + hP
4.若a + b^ l,(a,b) = l,p为奇素数，证明(a+b,-------- ) = 1,或者p。

a +b
a p +
b p a p +b p
证明设(a + b, ------- ) = d n a + b = kd, ------- = — 1
a+b a+b
a p+
b p =ld(a+b) = kld\另外
Q” +b「= a。

+ (kd — ct)P = Q, + (/cd)。

— C；1 ci H F C" 'kd(-Q)P 1 + (—Q)“
所以，ld = (kdyT -C；(kd)pq Q + ..・ + Cf1(-。

广
于是，d|C；T(-Q)PT =^>d\pa p~x
如果(d,Q)= d] => => ，
而+ = (a,b) = 1 => 乌=1 => (d,a) = 1
从而由d\ pa p~x=>d|p=>d = 1,或日=p
榇本必处心光觉，
盘雪淬时道已传\。

分享一些学习的名言，让学习充实我们的生活：
1、在学习中，在劳动中，在科学中，在为人民的忘我服务中，你可以找到自己的幸福。

一捷连斯基
2、读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。

一毛泽东
3、人不光是靠他生来就拥有一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己。

一歌德
4、正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。

——列夫•托尔斯泰
5、夫学须志也，才须学也。

非学无以广才，非志无以成学。

——诸葛亮
6、科学研究好象钻木板，有人喜欢钻薄的；而我喜欢钻厚的。

一爱因斯坦
7、学习必须与实干相结合。

一泰戈尔
8、学而时习之，不亦说乎？一孔壬
9、鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。

——李苦禅
10、求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。

——加菲劳
11、知识有如人体血液一样的宝贵。

人缺少了血液，身体就要衰弱，人缺少了知识，头脑就要枯竭。

——高士其
12、与肝胆人共事，无字句处读书。

——周恩来
13、情况是在不断的变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。

——毛泽东
14、科学的自负比起无知的自负来还只能算是谦虚。

——斯宾塞
15、少年读书，如隙中窥月；中年读书，如庭中望月；老年读书，如台上玩月。

皆以阅历之深浅，为所得之深浅耳。

一张潮
16、青年是学习智慧的时期，中年是付诸实践的时期。

——卢梭
17、读书百遍，其义自见。

一《-:国志》
18、读书志在圣贤，为官心存君国。

——朱用纯
19、德可以分为两种：一种是智慧的德，另一种是行为的德，前者是从学习中得来的，后者是从实践中得来的。

一亚里士多德
20、虚假的学问比无知更糟糕。

无知好比一块空地，可以耕耘和播种；虚假的学问就象一块长满杂草的荒地，几乎无法把草拔尽。

一康因
21、人的天才只是火花，要想使它成熊熊火焰，哪就只有学习！学习。

——高尔基
22、书到用时方恨少，事非经过不知难。

——陆游
23、书籍是朋友，虽然没有热情，但是非常忠实——雨果
24、任何-个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为退早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。

行路，还是要靠行路人自己。

——华罗庚
25、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。

——高永祚
26、活着就要学习，学习不是为了活着。

——培根
27、立志宜思真品格，读书须尽苦功夫。

——阮元
28、读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处。

——富兰克林
29、经常不断地学习，你就什么都知道。

你知道得越多，你就越有力量。

一高尔基
30、学习要有三心，一信心，二决心，三恒心。

——陈景润
31、兴于《诗》，立于礼，成于乐。

——孔子
32、书本上的知识而外，尚须从生活的人生中获得知识。

——茅盾
33、不读书的人，思想就会停止。

——狄德罗
34、知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛，愚暗是达到光明与真实境界的障碍，也就是人生发展的障碍。

——李大钊
35、“先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。

一陶行知
36、天赋如同自然花木，要用学习来修剪。

——培根
37、如果学生在学校里学习的结果是使自己什么也不会创造，那他的一生永远是模仿和抄袭。

——列夫•托尔斯泰
38、读书不要贪多，而是要多加思索，这样的读书使我获益不少。

——卢梭
39、求学将以致用；读书先在虚心。

——《对联集锦》
40、如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。

——池莉
41、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。

——屈原
42、读不在三更五鼓，功只怕…曝十寒。

——郭沫若
43、钉子有两个好处：一个是挤劲，一个是钻劲。

我们在学习上要提倡这种''钉子"精神，善于挤和钻。

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44、我学习了一生，现在我还在学习，而将来，只要我还有精力，我还要学习下去。

——别林斯基
45、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。

——洛克
46、人生最宝贵的是生命，人生最需要的是学习，人生最愉快的是工作，人生最重要的是友谊。

——斯大林
47、学习外语并不难，学习外语就像交朋友一样，朋友是越交越熟的，天天见面，朋友之间就亲密无间
T。

---- 周士其
48、古今来许多世家，无非积德。

天地间第一人品，还是读书。

——《格言联璧》
49、学习有两忌，自高和自狭。

——书摘
50、旧书不厌百回读，熟读精思子自知。

一苏轼。