新课标高三数学精华试题每天一练(25)

届新课标高三数学精华试题每天一练〔25〕
如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC ∆的周长为12．假设一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．
(I) 求双曲线E 的方程；
(II) 假设一过点(,0)P m 〔m 为非零常数〕的直线与双曲线E
相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x
轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-？假设存在，求出
所有这样定点G 的坐标；假设不存在，请说明理由．
【解析】：(I) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，
那么(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．
由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．
∴222||||16,
||||124,||||2.
AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩
解之得1a =，∴2,3c b ==．
∴双曲线E 的方程为2
213y
x -=．
(II) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．
设直线的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．
由MP PN λ=，得120y y λ+=．
即1
2y y λ=- ①
N B C O y x G M P
∵(4,0)BC =，
1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-， ∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ②把①代入②，得 12122()()0ky y m t y y +-+=
③ 把x m ky -=代入2
213
y x -=并整理得 222(31)63(1)0k y kmy m -++-= 其中2310k -≠且0∆>，即213
k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． 代入③，得 2226(1)6()03131
k m km m t k k ---=--， 化简得 kmt k =． 当1t m
=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(
,0)G m ，使()BC GM GN λ⊥-．。