第一讲 实数知识点

代数部分
第一章：实数
基础知识点： 一、实数
1、实数的分类：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪
⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧无限不循环小数
负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数
2、非负数：正实数与零的统称。

（表为：x ≥0） 常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3、有理数：任何一个有理数总可以写成q
p
的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

4、无理数：初中遇到的无理数有四种：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
3
π
+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等
5、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 （3）互为相反数的两个数在距原点距离相等的原点两侧（4）互为相反数的两个数的商为-1
实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、倒数：
（1）实数a （a ≠0）的倒数是
a
1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；反之亦成立。

倒数等0
实数 负数
整数 分数 无理数
有理数
正数
整数
分数
无理数 有理数
│a │ 2a a (a ≥0)
(a 为一切实数)
于本身的数是1和-1（3）注意0没有倒数，（4）若实数a ＞1，则a
1
＜1，若实数0＜a ＜1，则
a
1
＞1 3、绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
⎪⎩
⎪⎨⎧-==0
＜,0,
00＞,a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

“││”是“非负数”的标志，数a 的绝对值只有一个;
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号.|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

4、n 次方根
（1）平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

设a ≥0，称a ±
叫a 的平方根，。

正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（2）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）
0≥a
==a a 2 ；注意a 的双重非负性：
-a （a <0） a ≥0
3a 叫a 的算术平方根
（3）立方根：。

如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

3a 叫实数a 的立方根
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

三、实数与数轴
1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

解题时要真正掌
握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

四、实数大小的比较
1、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=- b a b a <⇔<-0
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;
1b a b
a
b a b a b a b a
<⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>2
2。

五、实数的运算
运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的分配律）
运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

1、加法：
（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

2、减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：
（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

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加法交换律 a b b a +=+
加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

六、有效数字和科学记数法
1、科学记数法：把一个数写做n
a 10⨯±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。

2、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。

精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。

例题：
例1、已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，且b a 。

化简：a b b a a --+-
分析：从数轴上a 、b 两点的位置可以看到：a ＜0，b ＞0且b a 所以可得：解：a a b b a a =+-++-=原式 例2、若333
)4
3
(,
)4
3(,
)4
3(--=-=-=c b a ，比较a 、b 、c 的大小。

分析：1)34(3--= a ；01433
b b 且-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=；c ＞0；所以容易得出：
a ＜
b ＜
c 。

解：略
例3、若22+-b a 与互为相反数，求a+b 的值 分析：由绝对值非负特性，可知02,
02≥+≥-b a ，
又由题意可知：022=++-b a 所以只能是：a –2=0，b+2=0，即a=2，b= –2 ，所以a+b=0 解：略 例4、已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd m
b
a +-+的值。

解：原式=0110=+-
例5、计算：（1）199********.08
⨯ （2）2
22121⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e e e
解：（1）原式=11)125.08(19941994==⨯
（2）原式=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-++2121212
1e e e e e e e e =11=⋅e e。