数学分析考试试题B卷

昆明理工大学硕士研究生招生入学考试试题(B 卷)
考试科目代码：617 考试科目名称 ：数学分析
1、证明：当0>x 时，x x x x <+<-)1ln(22
.(15分) 2、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤>+=0
,2sin 2
10,)
1ln()(23x x x x x x f ，求)(x f '，并讨论)(x f '的连续性.（15分）
3、设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰
⎰
+=
x
b
x
a
t f dt
dt t f x F )
()()(，],[b a x ∈. 证明：（1）2)(≥'x F ； （2）方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个根.(15分)
4、求幂级数
∑∞
=-1
1
n n nx
的收敛区间及和函数，并利用所得的结果求级数
∑∞
=-1
1
2
n n n
的和.（15分）
5、已知函数2
22222)1()1(),(y
x y y x x y x f ++-+=， （1）求二次极限),(lim lim 0
0y x f x y →→和),(lim lim 0
0y x f y x →→；（2）判断二重极限),(lim 0
y x f y x →→是否存在.
(15分)
6、设),(y xy f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求22222,,y
z
y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂.(15分)
7、利用格林公式计算曲线积分⎰
++-L
dy y x dx x xy )()2(2
2，其中L 是由抛物线2x y =和x
y =2所围成的区域的正向边界曲线.(15分)
8、计算三重积分⎰⎰⎰Ω
zdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=
及22y x z +=所围成的闭区域.
(15分)
9、证明：若)(x f 在),(+∞-∞内连续，且A x f x =∞
→)(lim （A 为有限数），则)(x f 必在)
,(+∞-∞
内有界.（15分） 10、设2
21)(x n x
x S n +=
， 证明：
（1）函数序列{})(x S n 在),(+∞-∞上一致收敛；（2）⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧)(x S dx d n 在),(+∞-∞上不一致收敛. (15分)。