江苏省2019高考数学二轮复习 专题八 附加题 第4讲 几何证明选讲、不等式选讲学案

第4讲 几何证明选讲、不等式选讲
[考情考向分析] 1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定，属B 级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B 级要求．
热点一 三角形相似的判定及应用
例1 (2018·徐州模拟)如图， AB 是圆O 的直径，弦BD, CA 的延长线相交于点E, EF 垂直
BA 的延长线于点F .
求证： AB 2
＝BE ·BD －AE ·AC .
证明 连结AD ，BC ，因为AB 为圆O 的直径，所以AD ⊥BD ，又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，F 四点共圆，
所以BD ·BE ＝BA ·BF . 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AE ＝
AC
AF
，即AB ·AF ＝AE ·AC ，
所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·()BF －AF ＝AB 2
.
思维升华 在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理．同时，要注意等量的代换．
跟踪演练1 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：
AC ＝2AD .
证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，
所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.
又因为∠A ＝∠A ，所以Rt△ADO ∽Rt△ACB . 所以BC OD ＝
AC
AD
.
又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD . 热点二 圆有关定理、性质的应用
例2 (2018·江苏南京师大附中模拟)在△ABC 中，已知AC ＝1
2AB ，CM 是∠ACB 的角平分线，
△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN ＝2AM . 证明 如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的角平分线，
所以AC BC ＝
AM
BM
.
又AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AM
BM ，①
因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以BM ·BA ＝BN ·BC ，即AB BC ＝BN
BM
②
由①②可知，2AM BM ＝BN
BM
，
所以BN ＝2AM .
思维升华 本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转化的数学思想．
跟踪演练2 (1)(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D .求证： DB ·DC ＋OD 2
＝OA 2
.
证明 如图，延长AO 交⊙O 于点E ，
则DB ·DC ＝DE ·DA ＝()OD ＋OE ·()OA －OD . ∵OE ＝OA ，
∴DB ·DC ＝()OA ＋OD ·()OA －OD ＝OA 2
－OD 2
.
∴DB ·DC ＋OD 2＝OA 2
.
(2)(2018·江苏盐城中学模拟)如图，过点A 的圆与BC 切于点D ，且与AB ，AC 分别交于点E ，
F .已知AD 为∠BAC 的平分线．
求证： EF ∥BC . 证明 如图，连结ED .
因为圆与BC 切于D ，所以∠BDE ＝∠BAD . 因为AD 平分∠BAC .所以∠BAD ＝∠DAC . 又∠DAC ＝∠DEF ，所以∠BDE ＝∠DEF . 所以EF ∥BC .
热点三 不等式的证明
例3 (1)(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1
2，求
证：
1－a ＋c
c ()
a ＋2
b ≥2.
证明 ∵a, b, c 为正实数，
∴
1－a ＋c
c ()
a ＋2
b ＝
a ＋2
b ＋3c
c ()
a ＋2b
＝
()a ＋c ＋2()
b ＋
c ac ＋2bc
≥2ac ＋4bc ac ＋2bc
＝2
(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)． 故原式成立．
(2)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2
)(1＋x 2
＋y )≥9xy . 证明 因为x ＞0，y ＞0，
所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2
＋y ≥33x 2y ＞0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2
＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．
思维升华 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明． 跟踪演练3 已知a ≥b ＞0，求证：2a 3
－b 3
≥2ab 2
－a 2
b . 证明 2a 3
－b 3
－(2ab 2
－a 2
b )＝2a (a 2
－b 2
)＋b (a 2
－b 2
) ＝(a 2
－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b ＞0，
所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0， 即2a 3
－b 3
≥2ab 2
－a 2
b . 热点四 柯西不等式
例4 (1)(2018·淮安等四市模拟)已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：
a 2
1＋a
＋
b 21＋b ＋
c 21＋c ＋
d 2
1＋d ≥1
5
. 证明 ∵[(1＋a )＋(1＋b )＋(1＋c )＋(1＋d )]·⎝ ⎛⎭⎪
⎫a 2
1＋a ＋b 2
1＋b ＋c 2
1＋c ＋d 2
1＋d ≥
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋a ·a 1＋a ＋1＋b ·b 1＋b ＋1＋c ·c 1＋c ＋1＋d ·d 1＋d 2
＝(a ＋b ＋c ＋d )2
＝1，
当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝1
4时，等号成立．
又(1＋a )＋(1＋b )＋(1＋c )＋(1＋d )＝5， ∴
a 21＋a ＋
b 21＋b ＋
c 21＋c ＋
d 2
1＋d ≥1
5
.
(2)(2018·南京模拟)已知a ，b ，c ∈()0，＋∞，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．
解 因为(12
＋12
＋12
)[(2a ＋b )2
＋
(2b ＋c )2
＋(2c ＋a )2
]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，
即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2
≤9(a ＋b ＋c )． 因为a ＋b ＋c ＝1，
所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9, 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3， 当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ， 即a ＝b ＝c ＝1
3
时等号成立．
所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3.
思维升华 利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构．
跟踪演练4 (2018·江苏丹阳高级中学模拟)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝4，求x 24＋y 2
9
＋
z 2的最小值．
解 由柯西不等式得，
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 2
9＋z 2()4＋9＋1≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12
＝()x ＋y ＋z 2
＝16，
所以x 24＋y 2
9＋z 2
≥1614＝87
，
当且仅当x 22＝y
33＝z 1
，
即x ＝87，y ＝187，z ＝2
7时取“＝”．
所以x 24＋y 2
9＋z 2
的最小值为87.
1．(2018·江苏)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C .若PC ＝23，求BC 的长．
证明 如图，连结OC .
因为PC 与圆O 相切， 所以OC ⊥PC .
又因为PC ＝23，OC ＝2， 所以OP ＝PC 2
＋OC 2
＝4.
又因为OB ＝2，从而B 为Rt△OCP 斜边的中点， 所以BC ＝2.
2．(2018·江苏)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值． 证明 由柯西不等式，得(x 2
＋y 2
＋z 2
)(12
＋22
＋22
)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2
＋y 2
＋z 2
≥4， 当且仅当x 1＝y 2＝z
2时，不等式取等号，
此时x ＝23，y ＝43，z ＝4
3，
所以x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值为4.
3．(2017·江苏)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．
求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2
＝AP ·AB .
证明 (1)因为PC 切半圆O 于点C ， 所以∠PCA ＝∠CBA ，
因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°， 因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .
(2)由(1)知△PAC ∽△CAB ，故AP AC ＝AC
AB
， 即AC 2
＝AP ·AB .
4．(2017·江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2
＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2
≤(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)， 因为a 2
＋b 2
＝4，c 2
＋d 2
＝16， 所以(ac ＋bd )2
≤64， 因此ac ＋bd ≤8.
1．(2018·苏锡常镇四市调研)如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交⊙O 于E 点，过
E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证：AC ⊥DE .
证明 连结OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .
因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . 又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠OEA ， 所以OE ∥AC ，所以AC ⊥DE .
2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .
求证：△ABD ∽△AEB .
证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，
又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB .
3．如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .
求证：∠E ＝∠C .
证明 连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B ，于是∠B ＝∠C .
因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角， 故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C . 4．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜－32，－x －3≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－32，
3x ＋3≥2，
解得x ≤－5或x ≥－1
3
.
综上，原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≤－5或x ≥－
1
3. 5．(2018·江苏南京师大附中模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：12a ＋1＋42b ＋1≥9
4.
证明 方法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋1≥5＋2
2b ＋12a ＋1×4(2a ＋1)
2b ＋1
＝9.
而(2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥9
4
.
当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＝1，2b ＋12a ＋1＝4(2a ＋1)
2b ＋1
，
即a ＝16，b ＝5
6
时，等号成立．
方法二 因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得
⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]≥⎝
⎛⎭
⎪⎫ 1
2a ＋1
·2a ＋1＋ 42b ＋1·2b ＋12
＝(1＋2)2
＝9.
由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，
所以12a ＋1＋42b ＋1≥9
4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，12a ＋1＝2
2b ＋1
，
即a ＝16，b ＝5
6
时等号成立．
6．(2016·江苏)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a
3，
求证：|2x ＋y －4|＜a .
证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a
3
，
又|y －2|＜a
3
，
∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a
3＝a .
即|2x ＋y －4|＜a .
7．(2018·全国大联考江苏卷)如图，AD ，BC ，CD 是以AB 为直径的圆的切线，切点分别为A ，
B ，P ，A
C 和B
D 交于Q 点．
求证：PQ ⊥AB .
证明 ∵AD ，BC 是以AB 为直径的圆的切线，
∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，
∴AD ∥BC ，∴△CQB ∽△AQD ，∴CQ AQ ＝BC
DA
. 又∵DA ，DP 是以AB 为直径的圆的切线， ∴DA ＝DP ，同理，CP ＝CB ，∴CQ QA ＝CP
PD
，∴PQ ∥DA ， 又∵DA ⊥AB ，∴PQ ⊥AB .
8．已知实数x ，y 满足x 2
＋3y 2
＝1，求当x ＋y 取最大值时x 的值． 解 由柯西不等式，得[x 2
＋(3y )2
]⎣
⎢⎡⎦⎥⎤12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332≥⎝
⎛
⎭⎪⎫x ×1＋3y ×332，
即43
(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2. 而x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2
≤43，
所以－233≤x ＋y ≤2
3
3，
由⎩⎪⎨
⎪
⎧ x
1
＝3y 33
，x ＋y ＝23
3，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝36，
所以当且仅当x ＝
32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝2
3
3. 所以当x ＋y 取最大值时x 的值为
3
2
.。