最新精编2019年高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整版考核题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：
__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．已知三棱柱111ABC A B C -
的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为
ABC △的中心，则1
AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B
C D ．
2
3
(2008全国1理) C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a
，则1AB =，棱柱的高
1
3
AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为1
13
AO AB =
另
2．(2010全国2理)与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点
A ．有且只有1个
B ．有且只有2个
C ．有且只有3个
D ．有无数个
【答案解析】D
3．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距
离( ) (A )5
13 (B )
5
17 (C )
292
1
(D )
1295
1
4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )
(A )11B D (B )B D 1 (C )1DB
(D )1BD
5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )
(A )2
2 (B )
2
3 (C )
3
6 (D )
3
3
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
6．（理科）如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），
那么这条斜线与平面所成的角是 .
7．（理）已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、
b 、
c 三向量共面，则实数λ等于____________；
8．已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC ==则平面ABC 的单位法向量为_____________________ 9．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ． 10． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。

11．如图，在长方体111
1ABCD A BC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3
．
12．空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．
13．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______．
14．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______
15．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).
(I) 若向量 a ＝(,,1x y )分别与向量AC AB ,垂直，求向量a 的坐标. (II) 求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S 的值. （理） 三、解答题
16．已知边长为6的正方体1111ABCD A B C D -，,E F 为AD CD 、上靠近D 的三等分点，H 为1BB 上靠近B 的三等分点，G 是EF 的中点．
（1）求1A H 与平面EFH 所成角的正弦值； （2）设点P 在线段GH 上，且
GP
GH
λ=，试确定 λ的值，使得二面角111A B C P --的余弦值为
10
10．
17．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，,2==PA AD ,22=CD F E ,分别是
AB 、PD 的中点．
（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ）求证：平面⊥PCE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角D EC F --的大小．
18．如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点
（Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离;
（Ⅱ）若11AB A C ⊥求二面角 的平面角的余弦值. 【2012高考真题重庆理19】（本小题
F
E
G
1
B 1
A
C
D
A
B
1
C 1
D P
H
．
满分12分
19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且1EB FB ==．
（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；
（2）试在面1111A B C D 上确定一点G ，使DG ⊥平面EF D 1．(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分10分）
20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。

（1）当0
90θ=时，求AM 的长； （2
）当cos 6
θ=时，求CM 的长。

21．正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=2，AA 1=1，D 为A 1C 1的中点，线段B 1C 上的点M 满足B 1M=λB 1C ，若向量AD 与BM 的夹角小于45º，求实数λ的取值范围。

22．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．
A
D
E
C B
D 1
C 1
B 1
A 1
F
G
（第22题图） 22第题图
⑴求证：M 为PC 中点；
⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．
证明 ⑴连接AC 与BD 交于G ，则平面PAC ∩平面BDM =MG ， 由PA ∥平面BDM ，可得PA ∥MG ， ∵底面ABCD 是菱形，∴G 为AC 中点， ∴MG 为△PAC 中位线，
∴M 为PC 中点． (4)
⑵取AD 中点O ，连接PO ，BO ， ∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，
∵底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，△ABD 是正三角形， ∴AD ⊥OB ，
∴OA ，OP ，OB 两两垂直，以O 为原点OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则()0,0,1A ，()0,3,1B ，()0,0,1-D ，()
3,0,0P ， ∴()3,0,1=，()
0,3,1-=，
∴()()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=23,23,02121AB DP DC DP DM
()
3,3,0--=，()0,0,2==，
A
P
B
C
D M
第23题图
x
∴02
3
230=+-
=⋅，0000=++=⋅CB DM ， ∴DM ⊥BP ，DM ⊥CB ，∴DM ⊥平面PBC ， ∴2
2,cos >=
< 平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为4
π
(10)
23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，点D 是A 1C 的中点．
(1)求A 1B 1与AC 所成的角的大小； (2)求证：BD ⊥平面AB 1C ； (3)求二面角C －AB 1－B 的余弦值．
24．三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝B C ．
(1)求AC 与平面SBC 所成角的大小． (2)求二面角A －SC －B 的大小．
25．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CC 1＝1．
(1)求异面直线AC 1与CB 1所成角的大小； (2)证明：BC 1⊥AB 1．
26．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,AA AD AB ，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量
(1)AF BE DB ,,1；
(2)在图中画出CD DB DD ++1化简后的向量．
27．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，，PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【2012高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
28．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．
（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（2）在棱11B C 上确定一点P
，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．
29．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点. (1) 求证:BD 1//平面C 1DE ；
(2)
试在棱CC 1上求一点P ,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.
30．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD
，
AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点.
1
第6小题图
A B
A 1
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE 面PAC，并求出点N到AB和AP的距离.。