数学(文)- 2020届高三上学期期末教学质量检测卷02(参考答案)

2020届高三上学期期末教学质量检测卷02
文科数学·参考答案
13．3.12
14．
3
15．3-
16
17．（本小题满分12分）
【答案】（1）证明见解析；（2）
1
3
．
【解析】（1）因为F 是CD 的中点，2CD AB =，所以DF AB =， 又DF AB ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形， 因为90DAB ∠=︒，所以四边形ABFD 是矩形，（2分） 所以90DFB ∠=︒，所以CD BF ⊥．
因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又CD AD ⊥，AD
PA A =，所以CD ⊥平面PAD ，（4分）
因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，
因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以PD EF ∥，所以CD EF ⊥， 因为EF
BF F =，所以CD ⊥平面BEF ．（6分）
（2）因为E 为PC 的中点，所以11
22
P DBE E PBD C PBD P BCD V V V V ----===，（9分） 因为22AD CD PA ===，所以1112
3323
P BCD BCD V S PA CD AD PA -=⋅=⨯⨯⨯=△，（11分）
所以11212233P DBE P BCD V V --==⨯=，即三棱锥P DBE -的体积为1
3
．（12分）
18．（本小题满分12分）
【答案】（1）选学生乙参加物理竞赛比较合适；（2）学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．
【解析】（1）学生甲的平均成绩为180********
835
x ++++=
=，
学生乙的平均成绩为29076759282
835
x ++++==，（2分）
学生甲的成绩方差为222222
11[(8380)(8385)(8371)(8392)(8387)]50.85s =⨯-+-+-+-+-=，
学生乙的成绩方差为222222
21[(8390)(8376)(8375)(8392)(8382)]48.85
s =⨯-+-+-+-+-=，
因为12x x =，22
12s s >，所以学生乙的成绩比较稳定，（4分）
所以选学生乙参加物理竞赛比较合适．（6分）
（2）记这5道备选题分别为A ，B ，C ，d ，e ，其中学生乙会A ，B ，C 这3道备选题， 方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A ，B ，C ，d ，e ，共5种情况， 学生乙恰好抽中会的备选题，有A ，B ，C ，共3种情况， 所以学生乙进入复赛的概率13
5
P =
．（8分） 方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，
Ade ，Bde ，Bde ，共10种情况，
学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，共7种情况，所以学生乙进入复赛的概率27
10
P =
．（10分） 因为12P P <，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．（12分） 19．（本小题满分12分）
【答案】（1）证明见解析；（2）1
(1)
(1)2
22
n n n n T n ++=-⋅+
+． 【解析】（1）因为2(2)n n S n a -=-，*n ∈N ， 所以当2n ≥时，11(1)2(2)n n S n a ----=-，
上述两式相减可得1122n n n a a a --=-，所以121(2)n n a a n -=-≥，（2分） 所以12(1)()12n n a a n -=-≥-，（3分）
又当1n =时，1112(2)a a -=-，所以13a =，112a -=，（4分）
所以
11
)1
(22n n a n a --=-≥，所以数列{1}n a -是以2为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（1）可得11222n n n a --=⨯=，所以21n
n a =+， 所以22log (1)(21)log 22n n n
n n n b a a n n =-=+⋅=⋅+⋅，（8分）
所以23123(1222322)(123)n n n T b b b b n n =++++=⨯+⨯+⨯+
+⨯+++++，
设231222322n n A n =⨯+⨯+⨯+
+⨯，
则23
121222(1)22n n n A n n +=⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
上述两式相减可得2
3
1
121222222
)
2
21(n n n n n A n n ++--=+++
+-⨯=-⨯-，
（10分） 所以1
(1)22n n A n +=-⋅+，
又(1)1232n n n +++++=
，所以1
(1)(1)222
n n n n T n ++=-⋅++．（12分）
20．（本小题满分12分）
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）04x =． 【解析】（1）设1(,0)F c -，2(
,0)F c ，
因为12MF
F △
1
22
c b ⨯⨯=，即
bc =（2分） 因为椭圆C
，所以c a =c =，
（3分） 又222a b
c =+，所以1
2b a =
，所以122
a a ⨯=2a =，（4分） 所以1
b =，所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（5分） （2）当直线l 与x 轴重合时，可设(2,0)A ，则(2,0)B -，
所以||1||3PA PB =，002
2
A B x d d x -=+，由||||A B d PA d PB =，得
002123x x -=+，解得04x =． 同理，当(2,0)A -，(2,0)B 时，可得04x =．（7分）
当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
将1x my =+代入2
214
x y +=，消去x 并整理可得22(4)230m y my ++-=，
则12224m y y m +=-
+，12
23
4
y y m =-+．（9分） 因为||||A B d PA d PB =，所以011022x x y x x y -=--，即011
022
11x my y x my y --=---，
整理得2
12
012
2
3
2()2411424
m my y m x m y y m ⨯-
+=
+=+=+-+．
（11分）
综上，当
||||
A B d PA d PB =时，04x =．（12分） 21．（本小题满分12分）
【答案】（1）见解析；（2）21e 2e 4
[,]24-+．
【解析】（1）由题可得2()x a
f x x
-'=，1e x ≤≤，
当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以min 1
()(1)2
f x f a ==
-；（2分） 当21e a <<时，令()0f x '<
，可得1x ≤<
()0f x '>
e x <≤，
所以函数()f x
在
上单调递减，在e]上单调递增，
所以min ()ln 22
a a
f x f a ==-
-；（4分） 当2e a ≥时，()0f x '≤恒成立，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以2
min
e ()(e)22
f x f a ==-．
综上，2min
221
,12()ln ,1e 22e 2,e 2
a a a a
f x a a a a ⎧-≤⎪⎪
⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．（6分） （2）由题可得()e 1x
g x '=-，所以当[0,1]x ∈时，()0g x '≥恒成立，
所以函数()g x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)g g x g ≤≤，即10()e 2g x ≤≤-．（8分） 当1a ≤时，由（1）可知函数()f x 在[1,e]上单调递增，
所以由题意可得(1)0(e)e 2f f ≤⎧⎨≥-⎩，即21
02e 2e 2
2
a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得1
12a ≤≤；
当21e a <<时，由（1）可知函数()f x
在
上单调递减，在e]上单调递增，
因为1(1)02f a =-<
，0f <，所以(e)e 2f ≥-，解得2e e
1142
a <≤-+；
（10分） 当2e a ≥时，由（1）可知函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以1
()(1)02
f x f a ≤=
-<，不符合题意． 综上，21e e 1242a ≤≤-+，故实数a 的取值范围为2
1e 2e 4[,]24
-+．
（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=，曲线2C 的直角坐标方程为2
y x =；（2）
8
15
． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为2324x t
y t =-⎧⎨=-+⎩
，
所以消去参数t 可得4320x y +-=，故曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；（2分）
因为cos tan ρθθ=，所以22
cos sin ρθρθ=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式可得2
y x =，
故曲线2C 的直角坐标方程为2
y x =．（5分）
（2）因为点P
的极坐标为)4
π
-，所以点P 的直角坐标为(2,2)-，
将曲线1C 的参数方程化为标准形式为325
425x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），（7分）
代入2
y x =可得29801500t t -+=， 设1t ，2t 是点A ，B 对应的参数，则12809t t +=
，1250
3
t t =． 所以1212||||||8
||11|||||15
|||t t PA PB PA PB t P PB t A ++===+⋅．（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
【答案】（1）(1,3)；（2）[2,)+∞．
【解析】（1）()()f x g x <即|23||5|5x x -+-<，
当32x <
时，3255x x -+-<，解得312x <<；（2分） 当352x ≤<时，2355x x -+-<，解得3
32
x ≤<； 当5x ≥时，2355x x -+-<，无解．（4分）
综上，13x <<，故不等式()()f x g x <的解集为(1,3)．（5分）
（2）因为关于x 的不等式2()()f x g x a -≤有解，所以min [2()()]f x g x a -≤．（7分） 因为2()()|210||23|5|(210)(23)|52f x g x x x x x -=-+--≥----=， 当且仅当3
[,5]2
x ∈时取等号，所以2a ≥， 故实数a 的取值范围为[2,)+∞．（10分）。