2020河北省对口升学考试数学试题及答案

2020年河北省普通高等学校对口招生文化考试
数 学
说明：
一、本试卷包括三道大题37个小题，共120分.其中第一道大题（15个小题）为选择题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，每小题所给出的四个选项中，只有 一个符合题目要求）
1. 下列集合中不是空集的是（ ）
A.{(,)||||0}x y x y +=
B.2{450}x x x ++=
C.{0}x x e <
D.φ 2.若0a b <<，则下列式子恒成立的是（ ）
A.3a b > <
C.sin sin a b <
D.cos cos a b <
3.设,A B 为两个集合，则“A B ⊆”是“A B A ⋂=”的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.已知函数2
()sin f x x =，则()f x 是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数 5.直线0ax by c ++=仅过第一、四象限，则下列关系成立的是（ ）
A.0,0a bc =<
B.0,0b ac =<
C.0,0a bc =>
D.0,0b ac => 6.直线l 过点(0,1)P ，且倾斜角是直线220x y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）
A.3440x y -+=
B.4330x y -+=
C.3440x y +-=
D.4330x y +-= 7.函数2
sin 2sin y x x =-的最大值与最小值分别为（ ）
A. 3，-1
B. 4，0
C. 5，1
D. 2，-1
8.数列{}n a 的前n 项和2
3n S n n =+，则2a =（ ）
A.10
B.8
C.6
D.4
9.ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠构成等差数列，则ABC ∆必为（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
10.函数y 的定义域为（ ）
A.{1,1}-
B.[1,1]-
C.(1,1)-
D.(,1][1,)-∞-⋃+∞
11.圆22
4x y +=
上到直线0x y ++=的距离为1的点有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
12.某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有（ ）
A.20种
B.40种
C.60种
D.80种 13.设20
22001220(65)
x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01220a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A.0
B.-1
C.1
D.2021-
14.若双曲线方程为222215x y b -=，其渐近线方程为12
5
y x =±，则其焦距为（ ）
A.13
B.26
C.39
D.52
15.已知抛物线方程为2
6y x =-，过点（0,3）且倾斜角为
4
π
的直线l 交抛物线于A,B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A.（-6，-3）
B.（-3，-6）
C.（6,3）
D.（3,6） 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 若
,
0,2,0,log 2
1{
)(≤>=x x x x x f 则
=-)]3([f f .
17. 若}1,2{2
+a a 为一个集合，则a 的取值范围是 . 18. 计算：=+++-2020
202030
6
7sin
3log )14.3(C ππ . 19. 已知不等式02
>++b ax x 的解集为}32|{><x x x 或，则不等式012
<-+bx ax 的解集为 .（用区间表示）
20. 向量)2,3(=a ，)12,1(+-=m m b ，若a 与b 相互垂直，则=m .
21. 计算：
=+-12
5tan
1125tan
1ππ
. 22. 已知2tan =α，则
=α
2cos 1
. 23. 椭圆16
32
2=+y x 的离心率为 . 24. 若2
1
)13(-=a ，)12(-=b ，)12(log 2
1-=c ，则a ，b ，c 按由小到大顺序排列
为 .
25. 在长方体1111D C B A ABCD -中，底面边长6=AB ，2=BC ，高41=AA ，则对角线1DB 与1CC 所成角的正切值为 .
26. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有 种.
27. 不等式2
5.025.0log )22(log x x x <++的解集为 .（用区间表示）
28. 已知A ∠，B ∠，C ∠和a ，b ，c 分别为ABC ∆的3个内角及其对边，若
c
C
b B a A cos cos cos =
=，则=A tan . 29. 在二项式7)1(x
x -的展开式中，含5
x 的项的系数是 .
30. 同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为 .
三、解答题（本大题共7个小题，共45分。

要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31. （6分）设集合{}23
A x x =->，
{}10B x mx =+>，若0m ≤为某个实数，求A B .
32.（6分）某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求120DAB ∠=︒，问AB 长为
多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积是多少平方米？
33.（6分）设数列{}n a 为等比数列，其中123a a a <<，123125a a a =，且1a -，225a ，315
a 成等差数列，求
（1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前6项和6S .
34.（6分）已知函数2
sin 22sin y x x =-，
（1）求该函数的最小正周期；
（2）当x 为何值时，函数取最大值，最大值为多少？
35.（8分）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,32(2F ，长轴长和短轴
长之和为12，过点)3,2(且倾斜角为3
π
的直线与椭圆交于B A ，两点，求 （1）椭圆的标准方程；
（2）线段AB 的中点坐标.
36.（7分）如图，已知⊥PD 矩形ABCD 所在的平面，F E ，分别是PB CD ，的中点，
5||8||==BC PD ，.
（1）求证：EF 平行于平面PAD ； （2）求点P 到AB 的距离.
37.（6分）取一副扑克牌，去掉大小王，剩下梅花、黑桃、红桃、方块四种花色共52张.
现有放回地随机取3次，设ξ为抽到梅花的次数.求 （1）至少抽到1次梅花的概率； （2）ξ的概率分布.
2020年河北省普通高等学校对口招生文化考试
数学试题参考答案
一、选择题
1. A
2.B
3.C
4.B
5.B
6.D
7.A
8.C
9.D 10.A 11.D 12.D 13.C 14.B 15.A 二、填空题
16. 3 17. ),1()1,(+∞⋃-∞ 18. 2 19. ),1()5
1,(+∞⋃-∞
P
A D
B
C
F
E
20.
71 21. 33- 22. 3
5
- 23. 22
24. c a b <<（或b ，a ，c ） 25. 2
10
26. 14400 27. ),0()0,1(+∞⋃- 28. 3 29. 7- 30.
6
1 三、解答题 31. 解：
由23x ->知，15x x <->或
，
故 (,1)
(5,)A =-∞-+∞，
若0m =，则(),B =-∞+∞， 所以 (,1)(5,)A
B A ==-∞-+∞.
当0m <时，由10mx +>得1
x m
<-
，即 1(,)B m =-∞-
. 所以，当15m -≤，即1
5m ≤-时，
(),1A B =-∞-.
当15m -
>，即1
05
m -<<时， 1
(,1)(5,)A B m
=-∞--
. 32.（6分）
解：设AB 的长为x 米，所围成的隔离区域的面积为y 平方米.
易知362
x
DA -=
， 则平行四边形ABCD 的面积
36sin 2x
y x ADC -=⋅
∠ 36sin 602
x
x -=⋅︒
)2
364
x x =-
-
()2
183244x ⎡⎤=-
--⎣
⎦
)2
184
x =-
-+ 故当AB 的长为18
米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积为. 33.（6分）
解：（1）设{}n a 的公比为q ，由已知
1232
132
125
a a a a a a =⎧⎨=⎩ 得3
2125a =，解得
25a = 由1a -，
225a ，31
5
a 成等差数列，得 21321255
a a a ⨯=-+
故
12224155
a a q a q -=-+ 化简得
2
450q q --=
故5q =或1-. 由于123a a a <<，故舍去1q =-，得到5q =. 从而得
1
121a a q -==.
所以{}n a 的通项公式为
1
5n n a -=.
（2）()()661611153906115
a q S q
-⨯-==
=--.
34.（6分）
解： 2
sin 22sin y x x =-
sin 2cos 21
2cos
cos 2sin )144
)14
x x x x x π
π
π
=+-=
+-=+- 故函数的最小正周期为22
π
π=. 当22()4
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈，即()8
x k k Z π
π=+
∈
1.
35.（8分）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,32(2F ，长轴长和短轴长之
和为12，过点)3,2(且倾斜角为3
π
的直线与椭圆交于B A ，两点，求 （1）椭圆的标准方程； （2）线段AB 的中点坐标.
35.解：（1）由题意，32=c ，1222=+b a ，即6=+b a . 由2
2
2
c b a =-得122
2
=-b a .
从而得到联立方程组⎩
⎨⎧=-=+，，1262
2b a b a 解得⎩⎨⎧==，，
24b a 所以椭圆的标准方程为
14
162
2=+y x . （2）由点斜式得过点)32(，且倾斜角为3
π
的直线AB 的方程为 )2(33-=-x y ，
即
33-=
x y .
把33-=x y 代入椭圆方程
14
162
2=+y x ，整理得 0424132
=--x x .
设B A ，坐标分别为),(),(2211y x B y x A ，.AB 中点坐标为),(00y x . 由根与系数关系得132421=
+x x .所以13
122210=+=x x x . 把点B A ，坐标代入直线方程得 33332211-=-=x y x y ，，
两式相加得
.
13
323
2)(32121-=-+=+x x y y
故
.133
2210-=+=
y y y
所以，线段AB 的中点坐标为).13
3
,1312(-
36.（7分） （1）证法一：
如图所示，取PA 中点M ，连接MF MD ，.
在三角形PAB 中，MF 是中位线，所以MF 平行于AB 且.||21
||AB MF =
由于ABCD 是矩形，所以MF 平行于CD 且.||2
1
||CD MF =
又因为E 为CD 的中点，所以MF 平行于DE 且.||||DE MF =
可得DEFM 为平行四边形，所以EF 平行于DM ，故EF 平行于平面PAD . 证法二：
取AB 中点H ，连接FH EH ，.因为F E ，分别是PB DC ，的中点， 所以EH 平行于AD ，FH 平行于PA ，又由于FH 和EH 交于H 点， 从而平面FHE 平行于平面PAD ，故EF 平行于平面PAD . （2）解：
由于⊥PD 平面ABCD ，故AB PD ⊥.
P
A
D B
C
F
E
M
P
A
D B
C
F E H
又ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥,⊥AB 平面PAD ，⊆PA 平面PAD ，故PA AB ⊥. 因此PA 为点P 到AB 的距离.
在直角三角形PAD 中，8||5||||===PD BC AD ，.
由勾股定理89||||||2
22=+=PD AD PA ， 故89||=PA .
37.（6分）
解：（1）由于4种花色均为13张，故一次抽取抽到梅花的概率为4
1
5213=，从而抽到其他3种花色的概率为
4
3.故 ξ(P ≥)0(1)1=-=ξP
.64
376427
1)
43()41(13
003=-=-=C
（2）根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
64
27
)43()41()0(300
3=
==C P ξ，
64
27)43()41()1(2
113===C P ξ，
64
9)43()41()2(1
223=
==C P ξ， 64
1)43()41()3(0
333=
==C P ξ.
所以，ξ的概率分布为。