广东省清远市第三中学高三数学上学期第十次周考试题

广东省清远市清城区三中高三第一学期第十次周考
数学（理）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题（60分，每题5分）
1、已知集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛x|x(x-3)<0｝，则A ∩B= （ ） A ．｛0，1，2，3｝ B ．｛0，1，2｝ C ．｛1，2｝ D ．｛1，2，3｝
2.已知i 是虚数单位，复数()2
2i +的共轭复数为（ ） A ．34i - B ．34i + C ．54i - D ．54i +
3.已知向量()2 m =a ，
，()1 2=-b ，，若()222m ⋅-=+a a b b ，则实数m 等于（ ） A ．12 B ．52 C ．54 D ．54
4.若47972cos
cos sin sin cos cos 51551523x x πππππ⎛
⎫-=++ ⎪⎝
⎭，则sin 2x 等于（ ） A ．13 B ．13- C.112 D ．1
12
-
5.执行如图所示的程序框图，若9
4
a =
，则输出S 的值为（ ）
A ．10
B ．12 C.14 D ．16
6.若实数 x y ，满足条件10
22010
x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则543z x y =-
+的最大值为（ ） A ．158-
B ．54- C.1
2
- D ．1- 7.“()2
21
43m x dx ≤-⎰”是“函数()122
x x m
f x +=+
的值不小于4”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为2
3
，则P 等于（ ） A ．
23 B ．34 C.45 D ．5
6
9.已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则下列关于函数
()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（ ）
A ．()g x 在区间 12
3π
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1-
B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3
π
个单位得到
C.()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移
3
π
个单位得到 D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移
3
π
个单位得到
10.已知函数() 2 011 1x f x x -<<⎧=⎨≥⎩，
，，则不等式()2134log log 41log 15x x f x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭的解集为（ ）
A ．1 13⎛⎫
⎪⎝⎭
， B ．[]1 4， C.1( 4]3， D ．[1 )+∞，
11.设双曲线()22
22:10 0x y C a b a b -=>>，
的左焦点为() 0F c -，，点M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为2cb ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A 2．2 C.2．3
12.已知函数()()2
6 3 x e ex
f x x x
g x ex
+=---=，，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1 x m n ∀∈，
，()20 x ∃∈+∞，，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）
A ．4
B ．23 C.43 D ．25
二、填空题（20分，每题5分）
13、已知向量a=（2，3）,b =(4，-3)，则a b=__________
14、若将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的函数解析式为__________
15、已知等比数列{}的各项均为正数，且=2，=8，则=__________
16、已知向量a=（2，4）,b =(x ，3)，且(a +b )⊥a ，则x=__________
三、解答题（70分） 17.（本小题满分12分）
在ABC △中，角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，且满足cos cos a B b A =. （Ⅰ）判断ABC △的形状；
（Ⅱ）求2sin 22cos 6A B π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭的取值范围.
18.（本小题满分12分）
为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”. 分数 [50 59)，
[60 69)，
[70 79)，
[80 89)，
[90 100)，
甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数
1
3
6
5
（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良
成绩不优良 总计
附：()
()()()()
()2 n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -=
=+++++++，
临界值表：
()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010
0k
2.706
3.841 5.024 6.635
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）
某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
20.（本小题满分12分）
如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将 AED DCF △，
△分别沿DE ，DF 折起，使 A C ，两点重合于P .
（Ⅰ）求证：平面PBD BFDE ⊥平面； （Ⅱ）求二面角P DE F --的余弦值. 21.（本小题满分12分）
已知右焦点为() 0F c ，的椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>过点31 2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，且椭圆M 关于直线x c =对称
的图形过坐标原点. （1）求椭圆M 的方程；
（2）过点()4 0，
且不垂直于y 轴的直线与椭圆M 交于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为E ，证明：直线PE 与x 轴的交点为F .
22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x =+. （1）解不等式()2f x x <；
（2）若()28f x x a +->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
数学（理）答案
一、1-12：CADAB CA BCC DA 二、 13、-1 14、
15、63 16、-16 三、
17.本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化数学思想。

（Ⅰ）由cos cos a B b A =，
根据正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，即()sin 0A B -=， 在ABC △中，有A B ππ-<-<， 所以0A B -=，即A B =，
所以ABC △是等腰三角形.…………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ），A B =，则
2sin 22cos 6A B π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭
31
sin 2cos 2cos 2122A A A ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎭ 31
sin 2cos 2122
A A =
-- sin 216A π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
因为A B =，所以02
A π
<<
，则526
6
6
A π
π
π
-
<-
<
， 所以1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，则3sin 2026A π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭，
所以2sin 22cos 6A B π⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
的取值范围是3( 0]2-，.…………………………12分
18.解：（1） 甲班 乙班 总计 成绩优良
9
16
25
成绩不优良 11 4 15 总计
20
20
40
………………………………………………………………………………………………2分 根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()2
40941611 5.227 5.024********
k ⨯-⨯=
>⨯⨯⨯≈，
∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分 （2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为15
8340
⨯=，
则X 的可能取值为0 1 2 3，，，.…………6分
()31131533
091C P X C ===；()21
1143
1544191
C C P X C ===；…………………………………………………………8分
()121143
1566
2455
C C P X C ===；()343154
3455
C P X C ===
.…………………………………………………………10分 ∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P
3391
4491
66
455
4455
………………………………………………………………………………………………11分 ∴()3344664364
01239191455455455
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
.……………………………………12分 19.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算 求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。

（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有110C 种，摸到红球的结果共有1
4C 种，所以顾
客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
1411042105
C C ==.………………………………………………………………2分 （Ⅱ）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
()3 0.4X B -，，
所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的 均值为1.2100120⨯=元.
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.………………………………………………………………7分 （Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y .
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，
. 于是，恰好k 次中奖的概率为
()10100.40.6k
k k P Y k C -==⨯⨯，0 1 10k =，，…，.
从而
()()
()21113P Y k k P Y k k
=⨯-=
=-， 1 2 10k =，，…，，
当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=， 则()4P Y =最大.
所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元.
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分
20.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。

（Ⅰ）证明：连接EF 交BD 于O ，连接OP .
在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点， 所以 BE BF DE DF ==，， 所以DEB DFB △≌△，
所以在等腰DEF △中，O 是EF 的中点，且EF OD ⊥， 因此在等腰PEF △中，EF OP ⊥，
从而EF OPD ⊥平面， 又EF BFDE ⊂平面， 所以平面BFDE OPD ⊥平面，
即平面PBD BFDE ⊥平面.……………………………………6分 （Ⅱ）方法一：
在正方形ABCD 中，连接AF ，交DE 于G ，设正方形ABCD 的边长为2， 由于点E 是AB 中点，点F 是BC 中点， 所以Rt Rt DAE ABF △≌△， 于是ADE FAB ∠=∠，
从而90ADG DAG EAG DAG ∠+∠=∠+∠=︒， 所以AF DE ⊥，
于是，在翻折后的几何体中，PGF ∠为二面角P DE F --的平面角， 在正方形ABCD 中，解得255AG =
，35
5
GF =， 所以，在PGF △中，255PG AG ==
，35
5
GF =，1PF =， 由余弦定理得2222
cos 23
PG GF PF PGF PG GF +-∠=
=⋅， 所以，二面角P DE F --的余弦值为2
3
.………………………………12分
方法二：
由题知 PE PF PD
，，两两互相垂直，故以P 为原点，向量 PF PE PD u u u r u u u r u u u r
，，方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.
设正方形边长为2，则()0 0 0P ，
，，()0 1 0E ，，，()1 0 0F ，，，()0 0 2D ，，. 所以()1 1 0EF =-u u u r ，，，()0 1 2ED =-u u u r ，，.
设() x y z =m ，
，为平面EFD 的一个法向量， 由EF ED ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m u u u r u u u r 得020x y y z -=⎧⎨
-+=⎩
，
令1
x=，得
1 1 1
2
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
m，，，
又由题知()
1 0 0
=
n，，是平面PED的一个法向量，
所以
2
cos
3
⋅
<>==
⋅
m n
m n
m n
，.
所以，二面角P DE F
--的余弦值为
2
3
.………………………………12分
21.（1）解：∵椭圆M过点
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，∴
22
19
1
4
a b
+=，①………………………………1分
∵椭圆M关于直线x c
=对称的图形过坐标原点，∴2
a c
=，………………………………2分
∵222
a b c
=+，∴22
3
4
b a
=，②…………………………………………………………3分
由①②得24
a=，23
b=，……………………………………………………4分
∴椭圆M的方程为
22
1
43
x y
+=.………………………………………………5分
（2）证明：易知直线PQ的斜率必存在，设直线PQ的方程为()()
40
y k x k
=-≠，
代入
22
1
43
x y
+=得()2222
343264120
k x k x k
+-+-=，
由()()()
2
222
3243464120
k k k
∆=--+->得，
11
22
k
⎛⎫
∈-
⎪
⎝⎭
，.…………………………7分
设()()
1122
P x y Q x y
，，，，()
22
E x y
-
，，则
2
122
32
34
k
x x
k
+=
+
，
2
122
6412
34
k
x x
k
-
=
+
，……………………………………8分
则直线PE的方程为()
12
11
12
y y
y y x x
x x
+
-=-
-
，
令0
y=得：
()()
()
1221
121221
11
121212
44
8
x k x x k x
x x x y x y
x y x
y y y y k x x
⋅-+⋅-
-+
=-⋅+==
+++-
()
22
22
1212
2
12
2
641232
24
243434
1
32
8
8
34
k k
x x x x k k
k
x x
k
-
⋅-⋅
⋅-+++
===
+-
-
+
，
∴直线PE过定点()
1 0
，，又M的右焦点为()
1 0
，，∴直线PE与x轴的交点为F.…………12分
11
22.解：（1）由()2f x x <，得12x x +<，
则212x x x -<+<，……………………………………………………2分 即1212x x x x +<⎧⎨+>-⎩，………………………………………………3分
解得1x >，∴不等式()2f x x <的解集为()1 +∞，.…………………………5分
（2）∵()111f x x a x x a x x a a +-=++-≥+-+=+，………………7分 又()3282f x x a +->=对任意x R ∈恒成立，即()3f x x a +->对任意x R ∈恒成立，……8分 ∴13a +>，解得4a <-或2a >，
∴实数a 的取值范围是()() 4 2 -∞+∞U ，，.………………………………10分。