高三数学下学期第二次百校联考试题理试题

2021届高三数学下学期第二次百校联考试题理〔扫描版〕
2021高三第二次百校联考
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

理科数学参考答案
〔1〕A 解析：i i(1i)11
i 1i 222
z +=
==-+-，故11i.22z =--
〔2〕A 解析：由题意可得[]2,1U C M =-，(],0N =-∞，故()U C M N =[]2,0-.
〔3〕D 解析：因为a c ⊥，所以()0a c a a b λμ⋅=⋅+=，可得02
μ
λ+
=，即20λμ+=.
〔4〕B 解析：从自然数1~5中任取3个不同的数的根本领件总数为3
510C =，其中平均数大于3的情
况有〔1,4,5〕，〔2,3,5〕，〔2,4,5〕，〔3,4,5〕，一共4种，故概率为2
.5
〔5〕B 解析：因为(0,
)2
x π
∀∈，sin x x >，所以(,0)2
x π
∀∈-
，sin x x >是正确的，所以p 为真命
题；lg(1)1x -<的解集为()9,1-，所以q 为假命题，应选B. 〔6〕C 解析：根据题意可得：
2122S q S +=+，即12
12
q q ++=+，解得32q =. 〔7〕C 解析：根据椭圆的对称性和定义可得28AF BF a +==，因为90AFB ∠=，OF c = ,所以
26AB c ==，所以ABF ∆的周长为2214a c +=.
〔8〕C 解析：3
41
34
1
232
31
110ln |ln |ln |i i i
i
e e e e e e e e e e e e
s dx dx dx x x x x
x x
++=+
++
+=+++⎰
⎰⎰ 110i =-=，解得11i =，应选C.
（9）C 解析：由题意可得sin(22)3
x π
ϕ+
+sin(22)3
x π
ϕ=+
-，整理得sin 20ϕ=，即
,2
k k Z π
ϕ=
∈，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为.2π
〔10〕A 解析：设圆柱的高为h ，那么根据题意可得32
243
r r h ππ⨯=，解得8
83
h r == ， 那么该建筑物的外表积2
2266S r rh πππ=+=，所以一共需涂料费用6600元.
〔11〕D 解析：画出可行域知当3y x z =-+与2
4y x =-相切时，z 取最大值，对2
4y x =-求导可得
23x -=-，解得32x =
，代入2
4y x =-可得74y =，所以max 37253244
z =⨯+= ，当2,0x y =-=时，z 取最小值6-，应选D.
〔12〕A 解析：根据题意可得()1()1a b f a e f b e =-==-，所以2a b
e e +=，那么(2)a b b e be -=-.
令()x g x xe =-(0)x < ，那么'()(1)x x x
g x e xe x e =--=-+，
当(,1)x ∈-∞-时，'
()0g x > ，当(1,0)x ∈-时，'
()0g x <，所以max 1()(1)g x g e
=-=. 〔13〕-4 解析：341241441()()(1),r
r
r r r r
r T C x C x x
--+=-=-令1248r -=，解得1r =，所以8x 的系数为-4.
〔14〕1e -- 解析：因为(e)(e)e e f g -=-+= ，所以(e)e ln e f a =-=+,1 e.a =-- 〔15〕2 解析：由32n n a a +=+可得54321()()6n n n n n n a a a a a a +++++++-++=，所以数列
{}32313n n n a a a --++是首项为123a a a ++，公差为6的等差数列，设123a a a x ++=，
那么3029
30626702
x ⨯+
⨯=，解得2x =，即1232a a a ++=. 〔16〕9 解析：设双曲线的左，右焦点分别为12,,F F 根据题意可得：
122||||16||1||5d PM d PF d PF d PF +≥+-=++-=++ ，结合图像可知2||d PF +的最小值为2
F 到渐近线的间隔 ，因为2F 到渐近线的间隔 为4，所以||d PM +的最小值为9.
〔17〕解析：〔Ⅰ〕由及正弦定理可得:
1sin cos sin a c
A C C
==,
因为c =tan C =，所以.3
C π
=----------4分
〔Ⅱ〕根据正弦定理可知
2sin sin sin a b c
A B C
===，所以2sin ,2sin a A b B == 22sin sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2a A b B A B A B +=+=--，
因为2
3A B π+=
，所以4sin sin 2cos 2cos(2)3
a A
b B A A π+=---
12cos 222sin(2)26
A A A π=-+=+-，
因为2(0,
),3A π∈所以72(,),666
A πππ
-∈-所以1sin(2),162A π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，
所以3
2sin(2)(,3],62A π
+-∈所以3sin sin (,3].2
a A
b B +∈-----------12分
〔18〕解析：〔Ⅰ〕设他能出车的事件为A ， 那么11111159
()(1)(1).22223372
P A =
⨯-⨯+⨯-⨯= -----------4分 〔Ⅱ〕根据题意可得X 的可能取值为0,1,2,3,4.
0202
22111(X 0)()(),3236P C C ===
1020212
2222211116(X 1)()()()3323236
P C C C C ==⨯⨯⨯+=，
22021120222
222222212111113(X 2)()()()()()323323236
P C C C C C C ==+⨯⨯⨯+=，
2212122
22222121112(X 3)()()()3233236
P C C C C ==+⨯⨯⨯=，
2222
22214(X 4)()().3236
P C C ===
所以X 的分布列为：
E X=
0123
436363636
36⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.3
---------12分.
〔19〕解析：〔Ⅰ〕连接AC 交BD 于点O
，分别以OA ，OB ，OS 为x
SA =，所以OS =S ， (0,A D B ，(
),(0,222E F -
设G 是AD
的中点，那么G ，
2(
2
2SG =-
， (,2
2EF =--
，
(22
EB =--， 因为0SG EF ⋅=，0SG EB ⋅=，所以SG EF ⊥，SG EB ⊥， 因为EF ⊂平面BEF ，EB ⊂平面BEF ，所以SG ⊥平面BEF ， 又SG ⊂平面SAD ，所以平面BEF ⊥
〔几何法：取AD 中点G ，连接SG 交EF 于点M ，连接BM ，BG,那么BM SG EF SG ⊥⊥,〕
〔Ⅱ〕设
OS h =，那么(0,0,)S h
，(
),(0,)2222
h h
E F - ，
那么222(,,0),()2222
h
EF EB =-
-=-- ，设平面BEF 的法向量为1(,,)n x y z = ， 那么110
,
0n EF n EB ⎧
⋅=⎪⎨⋅=
⎪⎩
即002
x y hz x
⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ，令1x =
，那么1,y z h =-=- 所以1(1,1,n h
=--
，取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n = ， 那么根据题意可得1212cos 60
||,||||n n
n n ⋅=
即12
=
，解得h =
所以1
43
S ABCD V -=
⨯= -----------12分 〔20〕解析:〔Ⅰ〕因为抛物线1:C 22y px =与圆2:C 22
(2)4x y -+=都关于x 轴对称，
所以交点,A B 关于x 轴对称，
又因为OAB ∆为直角三角形，所以AB 为圆2C 的直径，
不妨设点A 在第一象限，那么可得点A 〔2,2〕，代入抛物线方程得1p =， 所以抛物线1C 的方程为2
2y x =.---------------5分
x
〔Ⅱ〕根据题意可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y kx =，
设点(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，联立22y kx y x =⎧⎨=⎩，可解得2
22F F x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
因为E 是OF 的中点，所以211
E E x k y k ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入圆2C 方程得2
2211(2)4k k -+=，
整理可得
42
13
0k k
-=，又因为0k ≠，所以k
=， 所以直线l 的方程为.y x =±-------------12分
〔21〕解析：〔Ⅰ〕由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
'()ln 11ln f x x x x x =+--=- ，令()ln g x x x =- ，那么'11()1x
g x x x
-=
-= ， 当01x <<时，'
()0g x > ；当1x >时，'
()0g x <，所以max ()(1)1g x g ==- ， 即()ln 0g x x x =-<，所以'
()0f x <，所以()f x
〔Ⅱ〕2
()ln f x x x ax x =--的零点情况，即方程2
ln 0x x ax x --=的根情况，
因为0x >，所以方程可化为ln 1
x a x
-= ， 令ln 1()x h x x -= ，那么'
22
1(ln 1)2ln ()x x h x x x
---== ，令'()0h x =，可得2x e = ， 当20x e <<时，'
()0h x >，
当2x e >时，'()0h x <，所以2
max 21
()()h x h e e
==
， 且当0x →时，()f x →-∞；当2
x e >时，()0h x > ，
所以ln 1
()x h x x
-=
的图像大致如下图， 结合图像可知，当21a e >时，方程ln 1
x a x
-=没有根；
当21a e =或者0a ≤时，方程ln 1x a x
-=有一个根； 当210a e <<时，方程ln 1
x a x -=有两个根.
所以当21a e >时，函数()f x 无零点；当21a e =或者0a ≤时，函数()f x 有一个零点；当21
0a e
<<时，
函数()f x
〔22〕解析：〔Ⅰ〕∵M 为AB 的中点，∴OM ⊥AB ， ∵N 为CD 的中点，∴ON ⊥CD ，
在四边形OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=180°， ∴O ，M ，E ，N 四点一共圆.------------5分
〔Ⅱ〕因为AB=CD ，所以AB CD =,所以BC AD =，所以,BDC ABD ∠=∠所以BE=DE ， 连接OB ，OD ，设BD 的中点为1O ，那么1EO BD ⊥，1OO BD ⊥， 所以1,,E O O 三点一共线，所以EO BD ⊥.--------------10分.
（23）解析：〔Ⅰ〕消去参数可得2
2
1x y +=,因为2παπ≤≤，所以11,10x y -≤≤-≤≤，所以曲线
1C 是221x y +=在x 轴下方的局部，所以曲线1C 的极坐标方程为1(2)ρπθπ=≤≤，
曲线2C 的直角坐标方程为2
2
(1)1x y +-=------------5分
〔Ⅱ〕设00(,)P x y ，那么010y -≤≤ 错误！未找到引用源。

，直线l 的倾斜角为错误！未找到引用源。

，那么直线l 的参数方程为: 错误！未找到引用源。

(错误！未找到引用源。

为参数). ……………………………7分
代入错误！未找到引用源。

的直角坐标方程得错误！未找到引用源。

,
由直线参数方程中错误！未找到引用源。

的几何意义可知PM PN ⋅=0|12|y -， 因为010y -≤≤，所以[]1,3PM PN ⋅∈………10分 （24）解析：〔Ⅰ〕21x m -<，即121m x m -<<+，解得
11
22
m m x -+<<，
日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

因为不等式的整数解为2，所以11222
m m -+<<，解得35m <<， 因为m ∈Z ，所以4m =．……………………5分
〔Ⅱ〕由题意可知4ab =，0a b >>，所以0a b ->，
因为222()28()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+≥=---， 〔当且仅当8a b a b
-=-
，即a b ==.
所以22
a b a b
+≥-分
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。