1.4.2+一元二次不等式及其解法2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
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该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴仅有一个交点
1
,0
3
.观察图象可得原不等式的解集为 ∣ ≠
1
3
.
应用举例2：图象法
例3 求不等式3 2 + 5 − 2 > 0的解集.
解法1 因为方程3 2 + 5 − 2 = 0的∆= 52 − 4 × 3 × (−2) > 0,所
以该方程有两个不相等的实数根，解得1 = −2, 2 =
0.05 < 12成立的实数的取值范围，即可确认两车的实际行驶速度是否违法.
一元二次不等式的基本概念
一般地，形如 2 + + > 0,或 2 + + < 0,或 2 + + ⩾ 0,或
2 + + ⩽ 0(其中，为未知数，, , 均为常数，且 ≠ 0)的不等式叫作一元二
提炼归纳
思考交流 完成下表:
y = ax 2 + bx + c(a > 0)
方程ax 2 + bx + c = 0的判别式Δ = b2 −
4ac
方程ax 2 + bx + c = 0的实数根
Δ>0
Δ=0
Δ<0
− ± ∆
2
b
−
2a
无实数根
函数y = ax 2 + bx + c的图象
不等式ax 2 + bx + c > 0的解集
当 > −1时，原不等式的解集为(−1, ).
梳理与小结
1.一元二次不等式与一元二次不等式解集的概念；
2.图象法求解一元二次不等式；
3.依据因式正负求解一元二次不等式；
4.简单的分类讨论.
练习：自测与提升
1.画出下列函数的图象，并分别确定使 > 0的实数的取值范围：
(1) = 2 + 3 + 2;(2) = 4 2 − 12 + 9;
1
.
3
画出一元二次函数 = 3 2 + 5 − 2的图象（如图1-23），可知
该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴有两个交点 −2,0
和
1
,0
3
>
1
3
.或观察图象可得原不等式的解集为{ ∣ < −2,或
.
应用举例2：因式正负分析求解
例3 求不等式3 2 + 5 − 2 > 0的解集.
次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不
等式的解集.
问题提出
类比初中数学中用一次函数的图象求解一元一次不等式，我们可以利
用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式 2 − 2 − 3 < 0为例，画出一元二次函数 =
2 − 2 − 3的图象（如图1-20）并观察，可知它与轴交点
解法2 因为方程3 2 + 5 − 2 = 0的∆= 52 − 4 × 3 × (−2) > 0,所以该方程有两个
不相等的实数根，解得1 = −2, 2 =
1
,因此3 2
3
+ 5 − 2 = ( + 2)(3 − 1).
所以原不等式可以转化为( + 2)(3 − 1) > 0,
#( + )( − ) > ：因式 + 、 − 均为正或均为负.
+2>0
+ 2 < 0,来自或3 − 1 > 0
3 − 1 < 0.
所以原不等式的解集为{ ∣ < −2,或 >
1
3
.
拓展思考
1.根据不等式3 2 + 5 − 2 > 0的解集，
你能得出不等式3 2 + 5 − 2 ⩽ 0的解
集吗？
2.结合图1-21，总结解一元二次不等式
的一般步骤.
3.求关于的不等式 2 − − 22 > 0的解集，其中是常数
4.参考图1-21，画出当 < 0时， 2 + + > 0的求解思路.
解 依题意知方程 2 + (1 − ) − = 0的实数根为1 =
− 1, 2 = ,且一元二次函数 = 2 + (1 − ) − 的图象
是开口向上的抛物线.
(1)当 < −1时，如图1-24，一元二次函数 = 2 + (1 −
)�� − 的图象与轴从左至右有两个交点(, 0)与
> 0和 2 + + < 0的解集
之间的关系.
应用举例1：图象法
例2 求不等式9 2 − 6 + 1 > 0的解集.
解 因为方程9 2 − 6 + 1 = 0的∆= (−6)2 − 4 × 9 × 1 = 0,所以
1
3
该方程有两个相等的实数根，解得1 = 2 = .
画出一元二次函数 = 9 2 − 6 + 1的图象（如图1-22），可知
车距超过12m,但不足15m,乙车的刹车距超过11m,但不足12m.已知这两辆汽车的刹车
距函数分别如下：甲 = 0.01 2 + 0.1, 乙 = 0.005 2 + 0.05,车速超过40km/h属违
法.
试问：哪一辆车违法超速行驶？
由题意，只需分别解出使不等式12 < 0.01 2 + 0.1 < 15和11 < 0.005 2 +
变式自测
对于 < 0时的一元二次不等式，可以直接类比 > 0时的求解思路；也可以先
把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.
变式自测
(3)4 2 − 4 + 1 ⩽ 0;(4)− 2 + 8 − 2 < 0;
应用举例3：含参不等式与简单的分类讨论
例4 求关于的不等式 2 + (1 − ) − < 0的解集，其中是常数.
不等式ax 2 + bx + c < 0的解集
− − ∆
− + ∆
−∞,
∪
, +∞
2
2
− − ∆ − + ∆
,
2
2
ቊ ቤ
≠ − ቇቋ
⌀ 2
⌀
提炼归纳
阐述 = 2 + + ( > 0)
的图象与方程 2 + + = 0
的实数根、不等式 2 + +
不等式的解集为⌀.
(3)当 > −1时，如图1-26，一元二次函数 = 2 +
(1 − ) − 的图象与轴从左至右有两个交点(−1,0)与
(, 0).所以原不等式的解集为(−1, ).
综上所述，当 < −1时，原不等式的解集为(, −1);
当 = −1时，原不等式的解集为⌀;
4.2 一元二次不等式及其解法
CWB_HFZX
从实际问题到一元二次不等式
汽车在行驶过程中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，
一般称这段距离为“刹车距”.刹车距（单位：m)与车速（单位：km/h)之间具有确
定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞交警在现场测得甲车的刹
(−1,0).所以原不等式的解集为(, −1).
应用举例3：含参不等式与简单的分类讨论
例4 求关于的不等式 2 + (1 − ) − < 0的解集，其中是常数.
(2)当 = −1时，如图1-25，一元二次函数 = 2 +
(1 − ) − 的图象与轴只有一个交点(−1,0).所以原
的横坐标分别是一1和3.即当1 = −1, 2 = 3时 2 − 2 −
3 =0.进而，当− < < 时，一元二次函数 = − −
的图象在轴的下方，满足 < .也就是说，一元二次不等
式 2 − 2 − 3 < 0的解集是{ ∣ −1 < < 3}.
图象法
(3) = −2 2 + + 3;(4) = −6 2 + 5 + 6.
2.求下列不等式的解集：
(1)2 2 − 13 + 20 > 0;(2)7 2 + 5 + 1 < 0;
(3)4 2 − 4 + 1 ⩽ 0;(4)− 2 + 8 − 2 < 0;
(5)12 − 4 2 − 9 < 0;(6)(5 − )( + 4) ⩾ 18.
1
,0
3
.观察图象可得原不等式的解集为 ∣ ≠
1
3
.
应用举例2：图象法
例3 求不等式3 2 + 5 − 2 > 0的解集.
解法1 因为方程3 2 + 5 − 2 = 0的∆= 52 − 4 × 3 × (−2) > 0,所
以该方程有两个不相等的实数根，解得1 = −2, 2 =
0.05 < 12成立的实数的取值范围，即可确认两车的实际行驶速度是否违法.
一元二次不等式的基本概念
一般地，形如 2 + + > 0,或 2 + + < 0,或 2 + + ⩾ 0,或
2 + + ⩽ 0(其中，为未知数，, , 均为常数，且 ≠ 0)的不等式叫作一元二
提炼归纳
思考交流 完成下表:
y = ax 2 + bx + c(a > 0)
方程ax 2 + bx + c = 0的判别式Δ = b2 −
4ac
方程ax 2 + bx + c = 0的实数根
Δ>0
Δ=0
Δ<0
− ± ∆
2
b
−
2a
无实数根
函数y = ax 2 + bx + c的图象
不等式ax 2 + bx + c > 0的解集
当 > −1时，原不等式的解集为(−1, ).
梳理与小结
1.一元二次不等式与一元二次不等式解集的概念；
2.图象法求解一元二次不等式；
3.依据因式正负求解一元二次不等式；
4.简单的分类讨论.
练习：自测与提升
1.画出下列函数的图象，并分别确定使 > 0的实数的取值范围：
(1) = 2 + 3 + 2;(2) = 4 2 − 12 + 9;
1
.
3
画出一元二次函数 = 3 2 + 5 − 2的图象（如图1-23），可知
该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴有两个交点 −2,0
和
1
,0
3
>
1
3
.或观察图象可得原不等式的解集为{ ∣ < −2,或
.
应用举例2：因式正负分析求解
例3 求不等式3 2 + 5 − 2 > 0的解集.
次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不
等式的解集.
问题提出
类比初中数学中用一次函数的图象求解一元一次不等式，我们可以利
用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式 2 − 2 − 3 < 0为例，画出一元二次函数 =
2 − 2 − 3的图象（如图1-20）并观察，可知它与轴交点
解法2 因为方程3 2 + 5 − 2 = 0的∆= 52 − 4 × 3 × (−2) > 0,所以该方程有两个
不相等的实数根，解得1 = −2, 2 =
1
,因此3 2
3
+ 5 − 2 = ( + 2)(3 − 1).
所以原不等式可以转化为( + 2)(3 − 1) > 0,
#( + )( − ) > ：因式 + 、 − 均为正或均为负.
+2>0
+ 2 < 0,来自或3 − 1 > 0
3 − 1 < 0.
所以原不等式的解集为{ ∣ < −2,或 >
1
3
.
拓展思考
1.根据不等式3 2 + 5 − 2 > 0的解集，
你能得出不等式3 2 + 5 − 2 ⩽ 0的解
集吗？
2.结合图1-21，总结解一元二次不等式
的一般步骤.
3.求关于的不等式 2 − − 22 > 0的解集，其中是常数
4.参考图1-21，画出当 < 0时， 2 + + > 0的求解思路.
解 依题意知方程 2 + (1 − ) − = 0的实数根为1 =
− 1, 2 = ,且一元二次函数 = 2 + (1 − ) − 的图象
是开口向上的抛物线.
(1)当 < −1时，如图1-24，一元二次函数 = 2 + (1 −
)�� − 的图象与轴从左至右有两个交点(, 0)与
> 0和 2 + + < 0的解集
之间的关系.
应用举例1：图象法
例2 求不等式9 2 − 6 + 1 > 0的解集.
解 因为方程9 2 − 6 + 1 = 0的∆= (−6)2 − 4 × 9 × 1 = 0,所以
1
3
该方程有两个相等的实数根，解得1 = 2 = .
画出一元二次函数 = 9 2 − 6 + 1的图象（如图1-22），可知
车距超过12m,但不足15m,乙车的刹车距超过11m,但不足12m.已知这两辆汽车的刹车
距函数分别如下：甲 = 0.01 2 + 0.1, 乙 = 0.005 2 + 0.05,车速超过40km/h属违
法.
试问：哪一辆车违法超速行驶？
由题意，只需分别解出使不等式12 < 0.01 2 + 0.1 < 15和11 < 0.005 2 +
变式自测
对于 < 0时的一元二次不等式，可以直接类比 > 0时的求解思路；也可以先
把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.
变式自测
(3)4 2 − 4 + 1 ⩽ 0;(4)− 2 + 8 − 2 < 0;
应用举例3：含参不等式与简单的分类讨论
例4 求关于的不等式 2 + (1 − ) − < 0的解集，其中是常数.
不等式ax 2 + bx + c < 0的解集
− − ∆
− + ∆
−∞,
∪
, +∞
2
2
− − ∆ − + ∆
,
2
2
ቊ ቤ
≠ − ቇቋ
⌀ 2
⌀
提炼归纳
阐述 = 2 + + ( > 0)
的图象与方程 2 + + = 0
的实数根、不等式 2 + +
不等式的解集为⌀.
(3)当 > −1时，如图1-26，一元二次函数 = 2 +
(1 − ) − 的图象与轴从左至右有两个交点(−1,0)与
(, 0).所以原不等式的解集为(−1, ).
综上所述，当 < −1时，原不等式的解集为(, −1);
当 = −1时，原不等式的解集为⌀;
4.2 一元二次不等式及其解法
CWB_HFZX
从实际问题到一元二次不等式
汽车在行驶过程中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，
一般称这段距离为“刹车距”.刹车距（单位：m)与车速（单位：km/h)之间具有确
定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞交警在现场测得甲车的刹
(−1,0).所以原不等式的解集为(, −1).
应用举例3：含参不等式与简单的分类讨论
例4 求关于的不等式 2 + (1 − ) − < 0的解集，其中是常数.
(2)当 = −1时，如图1-25，一元二次函数 = 2 +
(1 − ) − 的图象与轴只有一个交点(−1,0).所以原
的横坐标分别是一1和3.即当1 = −1, 2 = 3时 2 − 2 −
3 =0.进而，当− < < 时，一元二次函数 = − −
的图象在轴的下方，满足 < .也就是说，一元二次不等
式 2 − 2 − 3 < 0的解集是{ ∣ −1 < < 3}.
图象法
(3) = −2 2 + + 3;(4) = −6 2 + 5 + 6.
2.求下列不等式的解集：
(1)2 2 − 13 + 20 > 0;(2)7 2 + 5 + 1 < 0;
(3)4 2 − 4 + 1 ⩽ 0;(4)− 2 + 8 − 2 < 0;
(5)12 − 4 2 − 9 < 0;(6)(5 − )( + 4) ⩾ 18.