适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习下篇能力培养思维进阶3数学建模课件
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运算等方法,依据相关的约束条件,结合给定的相关数据,进行求解.
解:(1)由对折 2 次共可以得到 5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格
的图形,所以对折三次的结果有:
5
3
dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm× dm,共 4 种不同规格;
2
故对折
2
5
5
3
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
折纸是长方形的,沿着某条对称轴对折,对折1次和2次得到的规格大小和对
折图形的种数,对折1次和2次的面积之和与对折次数之间的关系.
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
通过合情推理能推理到的问题是对折第3次规格大小和种数是多少?以此
类推,对折4次呢?对折n次呢?如何建立对折次数与面积和的函数关系式?
问题分析是将具体问题抽象为数学模型的桥梁,反映了对问题的认识程度,
是解决问题的雏形,起承上启下作用,其目的是找到问题的切入点.其过程
需要思考问题的可能解决方案.主要包括:
①确定题目中需要解决的任务目标;
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
④大致确定用什么方法建立模型.
120×(2) ,对于第
n 次对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的
120(+1)
过程和结论,猜想为 n+1 种(证明略),故得猜想 Sn=
2 -1
,
120×2
120×3
120×4
120(n+1)
设 S= ∑ Sk= 0 + 1 + 2 +…+ n -1 ,
上述问题中,需要考虑长方形折纸对折情况,做出假设,构建数列模型,该题
建立了两个模型,可以假设对折次数为n,形成的规格种数为m,可以建立函
数模型:m=n+1.
第二个模型是对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和Sn与n的数列
120(+1)
模型: Sn=
2 -1
.
(4)模型求解
针对不同数学模型,采用解方程、几何求解、证明定理、逻辑推理、数学
4
2
2
4
种不同规格的图形,建立了对折次数 n 与规格数 m 之间的关系:m=n+1;
同时,由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对折后的
1
图形,不论规格如何,其面积的数学模型可以假设为公比为 的等比数列,首项
2
1 n-1
为 120,第 n 次对折后的图形面积为 120×( ) ,对于第 n 次对折后的图形的规
数学建模的流程
在高考试题中,常用的数学模型有:函数、代数与几何、概率统计等.数学
建模通常与设置问题的性质、建模目的等有关,其中思考数学建模问题的
基本流程可以概括如下:
(1)问题分析
通过研究试题或者提出的问题的显著特征及其变化,梳理已知条件和条件
之间的关系,梳理出要解决问题需要的条件,明确条件和结论的联系.
能力三 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学
方法构建模型解决问题的核心素养.数学模型搭建了数学与外部世界联系
的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本
手段,也是推动数学发展的动力.
数学建模过程的构成要素主要包括:在实际情境中,从数学的视角发现
2
格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为 n+1 种(证明从略),故得猜想
120(+1)
Sn=
2 -1
.
(3)模型建立
依据上述假设,建立问题中变量之间的数学关系即数学模型的建立.需要利
用问题的内在规律和数学知识,构造出空间的数量关系、数量间的等式关
系或其他数学结构,把现实问题转化为数学问题.
量,进行“化繁为简”,这是最关键的环节.
提出假设包括:
①选择关键因素,将多个影响因素合并为较少的影响因素;
②选择关键变量,借助图形、数表以及相关已有数学知识建立起条件和结
论之间的关系.
如上面示例中将实际生活中的民间折纸艺术与数学中的数列问题巧妙地联
系在一起,借助图形,一是抓住题目中所给的两个示例,由对折 2 次共可以得
④大致确定用什么方法建立模型.通过“ ∑ Sk ”猜测用数列知识解决,通过
=1
推理对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和公式特征,能确定用等
差数列和等比数列知识方法建立模型.
(2)模型假设
根据问题特征和建模的目的,对问题进行合理的简化与假设,同时,要充分
发挥想象力、判断力和创新力,抓住问题的主要矛盾,精选问题中的关键变
问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、
改进模型,最终解决实际问题.
高考数学试卷中作为关键能力进行重点考查,考查关键点在于:学生能
结合题目的情境,提取并整合信息,理顺条件和结论,初步建立数学模型,运
用相关数学知识求解模型,更ຫໍສະໝຸດ 水平的学生能够基于现实背景验证模型及
改进完善模型,提高创新能力.
如:(2021年新高考Ⅰ卷,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经
常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次
共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和
S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种
规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到
不同规格图形的种数为
;如果对折n次,那么 ∑ Sk =
dm2.
=1
该题是一道典型的数学建模问题,对其进行分析:
①确定题目中需要解决的任务目标;
∑ Sk的值.
长方形纸对折4次后,得到不同规格图形的种数以及如果对折n次,=1
3
4 次可得到:4dm×12dm,2dm×6dm,5dm×3dm,10dm×2dm,20dm×4dm,
共 5 种不同规格的图形.
(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对折后的图
1
形,不论规格如何,其面积成公比为2的等比数列,首项为 120,第 n 次对折后的
图形面积为
1 n-1
到 5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格的图形,所以对折 3 次可以得
5
3
到:2dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×2dm,共 4 种不同规格的图形;
5
5
3
3
对折 4 次可得到: dm×12dm, dm×6dm,5dm×3dm,10dm× dm,20dm× dm,共 5
解:(1)由对折 2 次共可以得到 5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格
的图形,所以对折三次的结果有:
5
3
dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm× dm,共 4 种不同规格;
2
故对折
2
5
5
3
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
折纸是长方形的,沿着某条对称轴对折,对折1次和2次得到的规格大小和对
折图形的种数,对折1次和2次的面积之和与对折次数之间的关系.
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
通过合情推理能推理到的问题是对折第3次规格大小和种数是多少?以此
类推,对折4次呢?对折n次呢?如何建立对折次数与面积和的函数关系式?
问题分析是将具体问题抽象为数学模型的桥梁,反映了对问题的认识程度,
是解决问题的雏形,起承上启下作用,其目的是找到问题的切入点.其过程
需要思考问题的可能解决方案.主要包括:
①确定题目中需要解决的任务目标;
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
④大致确定用什么方法建立模型.
120×(2) ,对于第
n 次对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的
120(+1)
过程和结论,猜想为 n+1 种(证明略),故得猜想 Sn=
2 -1
,
120×2
120×3
120×4
120(n+1)
设 S= ∑ Sk= 0 + 1 + 2 +…+ n -1 ,
上述问题中,需要考虑长方形折纸对折情况,做出假设,构建数列模型,该题
建立了两个模型,可以假设对折次数为n,形成的规格种数为m,可以建立函
数模型:m=n+1.
第二个模型是对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和Sn与n的数列
120(+1)
模型: Sn=
2 -1
.
(4)模型求解
针对不同数学模型,采用解方程、几何求解、证明定理、逻辑推理、数学
4
2
2
4
种不同规格的图形,建立了对折次数 n 与规格数 m 之间的关系:m=n+1;
同时,由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对折后的
1
图形,不论规格如何,其面积的数学模型可以假设为公比为 的等比数列,首项
2
1 n-1
为 120,第 n 次对折后的图形面积为 120×( ) ,对于第 n 次对折后的图形的规
数学建模的流程
在高考试题中,常用的数学模型有:函数、代数与几何、概率统计等.数学
建模通常与设置问题的性质、建模目的等有关,其中思考数学建模问题的
基本流程可以概括如下:
(1)问题分析
通过研究试题或者提出的问题的显著特征及其变化,梳理已知条件和条件
之间的关系,梳理出要解决问题需要的条件,明确条件和结论的联系.
能力三 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学
方法构建模型解决问题的核心素养.数学模型搭建了数学与外部世界联系
的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本
手段,也是推动数学发展的动力.
数学建模过程的构成要素主要包括:在实际情境中,从数学的视角发现
2
格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为 n+1 种(证明从略),故得猜想
120(+1)
Sn=
2 -1
.
(3)模型建立
依据上述假设,建立问题中变量之间的数学关系即数学模型的建立.需要利
用问题的内在规律和数学知识,构造出空间的数量关系、数量间的等式关
系或其他数学结构,把现实问题转化为数学问题.
量,进行“化繁为简”,这是最关键的环节.
提出假设包括:
①选择关键因素,将多个影响因素合并为较少的影响因素;
②选择关键变量,借助图形、数表以及相关已有数学知识建立起条件和结
论之间的关系.
如上面示例中将实际生活中的民间折纸艺术与数学中的数列问题巧妙地联
系在一起,借助图形,一是抓住题目中所给的两个示例,由对折 2 次共可以得
④大致确定用什么方法建立模型.通过“ ∑ Sk ”猜测用数列知识解决,通过
=1
推理对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和公式特征,能确定用等
差数列和等比数列知识方法建立模型.
(2)模型假设
根据问题特征和建模的目的,对问题进行合理的简化与假设,同时,要充分
发挥想象力、判断力和创新力,抓住问题的主要矛盾,精选问题中的关键变
问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、
改进模型,最终解决实际问题.
高考数学试卷中作为关键能力进行重点考查,考查关键点在于:学生能
结合题目的情境,提取并整合信息,理顺条件和结论,初步建立数学模型,运
用相关数学知识求解模型,更ຫໍສະໝຸດ 水平的学生能够基于现实背景验证模型及
改进完善模型,提高创新能力.
如:(2021年新高考Ⅰ卷,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经
常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次
共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和
S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种
规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到
不同规格图形的种数为
;如果对折n次,那么 ∑ Sk =
dm2.
=1
该题是一道典型的数学建模问题,对其进行分析:
①确定题目中需要解决的任务目标;
∑ Sk的值.
长方形纸对折4次后,得到不同规格图形的种数以及如果对折n次,=1
3
4 次可得到:4dm×12dm,2dm×6dm,5dm×3dm,10dm×2dm,20dm×4dm,
共 5 种不同规格的图形.
(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对折后的图
1
形,不论规格如何,其面积成公比为2的等比数列,首项为 120,第 n 次对折后的
图形面积为
1 n-1
到 5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格的图形,所以对折 3 次可以得
5
3
到:2dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×2dm,共 4 种不同规格的图形;
5
5
3
3
对折 4 次可得到: dm×12dm, dm×6dm,5dm×3dm,10dm× dm,20dm× dm,共 5