方椭圆和UFO曲线

方椭圆和UFO 曲线
设h 为大于0的实数, a > h, n 是大于等于3的奇数，
对于: r1 = √(x −h )n +y n n r2 = √(x +h )n +y n n
在r1 >= 0 r2 >= 0 的情况下， r1 + r2 = 2a 即：
√(x −h )n +y n n + √(x +h )n +y n n
= 2a (1) 的图像是什么样子呢？查阅资料没发现，那就画一个看看吧。

对h = 1 , c1在点（1，0），c2在点（-1，0），2a=2x4，n=3的情况， 有: √x −1+y 3 + √x +1+y 3
= 2a （2） 这是一个隐的比较深的函数，要编个程序才能画出来图像。

画出来的图像如下：其中“方椭圆”是基本轨迹。

红色线是蓝色曲线的渐近线，蓝色曲线加红色线是“UFO ”曲线。

蓝色曲线确实是（2）式的解。

√x −1+y 3 + √x +1+y 3 = 2x4 极点在(-1,0)和(1,0)。

蓝色曲线对x 轴及对y 轴的镜像图像应该也是（2）式的轨迹。

一般地，对 √x −h +y n + √x +h +y n
= 2a 其中： h > 0, a > h , 点（-h,0）和点（h,0）是极点， n 是大于等于3的奇数时，图像与上图相似。

这是一种双极点（焦点）曲线。

最常见的是椭圆和双曲线。

卡西尼椭圆及笛卡尔卵形线也是双极点曲线。

√(x −h )n +y n n + √(x +h )n +y n n
= 2a 在n 是偶数及大于1的实数时，图像是方椭圆。

这是不是一个比较优美的曲线？我觉得比较优美，而且比较怪。

谁知道还有哪些双极点曲线？画出来看看。