五莲县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

五莲县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
2． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，
=（2，4），
=（1，3），则
等于（
）
A ．（2，4）
B ．（3，5）
C ．（﹣3，﹣5）
D ．（﹣2，﹣4）
3． 若直线上存在点满足约束条件
2y x =(,)x y 则实数的最大值为 30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
m A 、
B 、
C 、
D 、1-32
2
4． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过
2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
5． 在等差数列中，，公差，为的前项和.若向量，，{}n a 11a =0d ≠n S {}n a n 13(,)m a a u r =133(,)n a a r
=-且，则的最小值为（ ）
0m n u r r ×=2163
n n S a ++A ． B ．
C ．
D ．
432-9
2
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在
n 考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．6． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ）
A ．命题p 一定是假命题
B ．命题q 一定是假命题
C ．命题q 一定是真命题
D ．命题q 是真命题或假命题
7． 给出下列两个结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；
②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；则判断正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①②都对
D ．①②都错8． 设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
的值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点．甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（
）
A ．7049
B ．7052
C ．14098
D ．14101
11．设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2项的系数是（ ）A ．﹣13
B ．6
C ．79
D ．37
12．已知菱形ABCD 的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A ．15π
B ．
C ．
π
D ．6π
二、填空题
13．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
14．若x 、y 满足约束条件，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
{
x －2y ＋1≤0
2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0
)
15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系中，直线与函数
xOy l 和均相切（其中为常数），切点分别为和
()()2220f x x a x =+>()()3220g x x a x =+>a ()11,A x y ，则的值为__________．
()22,B x y 12x x +16．在直角梯形分别为的中点，,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===,AB AC 点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，
P A AD DE AP ED AF λμ=+u u u v u u u v u u u v
,R λμ∈则的取值范围是___________．
2λμ
-
17．已知函数，，其图象上任意一点处的切线的斜率恒()ln a f x x x =+
(0,3]x ∈00(,)P x y 12
k ≤成立，则实数的取值范围是
．
18．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．
ξξ20．如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．
（1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PD （1）证明：平面；//PB AEC
（2）设，的体积，求到平面的距离.1AP =AD =
P ABD -V =
A PBC 111]
22．函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx ．
（1）求函数f （x ）的递增区间；（2）当x ∈[0，
]时，求f （x ）的值域．
23．设函数f （x ）=lg （a x ﹣b x ），且f （1）=lg2，f （2）=lg12（1）求a ，b 的值．
（2）当x ∈[1，2]时，求f （x ）的最大值．
（3）m 为何值时，函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x ﹣m 的图象恒有两个交点．
24．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴
为极轴．建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．
五莲县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．∵AC=
=2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|==
=6．
故选：B ．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．　
2． 【答案】C 【解析】解：∵，
∴=
=（﹣3，﹣5）．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．　
3． 【答案】B
【解析】如图，当直线经过函数的图象m x =x y 2=与直线的交点时，
03=-+y x 函数的图像仅有一个点在可行域内，x y 2=P 由，得，∴．
230y x
x y =⎧⎨
+-=⎩
)2,1(P 1≤m 4． 【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次，
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D ．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．　
5． 【答案】A
【
解
析
】
425
41
415
4
32
6．【答案】D
【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，
又∵命题“非p”也是假命题，
∴命题p为真命题．
故命题q为可真可假．
故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．
②根据逆否命题的定义可知②正确．
故选C．
【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．
8．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0．
平移直线y=ax﹣z，
由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．
此时a=．
故选：B．
9．【答案】C
【解析】解：甲、乙二人各掷骰子一次，得到所有的基本事件有
（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）
（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）
（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）
（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）
（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）
（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）
共36种，
显然甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，
故甲掷得的向上的点数比乙大的概率为P=．
故选：C．
【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
10．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
11．【答案】D
【解析】
二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，
故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【答案】A
【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R2=
∴球的表面积为15π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
二、填空题
13．【答案】0
【解析】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A 1E ⊥GF ，
∴异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值为0．故答案为：0．
14．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y ＝－3x ＋z ＋m 与直线y ＝－3x 平行，且在y 轴上的截距最小时，z 才能取最小值，此时l 经过直线2x －y ＋2＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （－1，0），z min ＝3×（－1）＋0＋m ＝－3＋m ＝1，∴m ＝4.
答案：415．【答案】
5627
【解析】
-
16．【答案】[]1,1
【解析】
考点：向量运算．
【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
17．【答案】2
1≥a 【解析】
试题分析：，因为，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，'
21()a f x x x =
-(0,3]x ∈00(,)P x y 1
2
k ≤，，，恒成立，由．1
2112a x x ∴-≤(0,3]x ∈x x a +-≥∴221
(0,3]x ∈2111,222
x x a -+≤∴≥考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．18．【答案】 ．
【解析】解：如图所示，
分别取AC ，A 1C 1的中点O ，O 1，连接OO 1，取OE=1，连接DE ，B 1O 1，AE ．∴BO ⊥AC ，
∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直棱柱．由直棱柱的性质可得：BO ⊥侧面ACC 1A 1．∴四边形BODE 是矩形．∴DE ⊥侧面ACC 1A 1．
∴∠DAE 是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角，为α，
∴DE==OB ．
AD=
=
．
在Rt △ADE 中，sin α==
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，∴
所求概率为（6分）
22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（Ⅱ） ，，，（9分）0,1,2,ξ=23253(0)10C P C ξ===1123253(1)5C C P C ξ⋅===2
22
51
(2)10
C P C ξ===
（10分）
∴ （12分）3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯=20．【答案】
【解析】解：如图，过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，分别以DC ，DE ，DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC=120°，∴∠SDE=30°，
又SD=2，则点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为．
则有D （0，0，0），，A （0，0，2），C （2，0，0），B （2，0，1）．
（1）设平面SAB 的法向量为，
∵．
则有，取，
得
，又
，设SC 与平面SAB 所成角为θ，则
，
故SC 与平面SAB 所成角的正弦值为．
（2）设平面SAD 的法向量为，
∵
，
则有，取，得
．
∴
，
故平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值是
．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．　
21．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】
试
题解析：（1）设和交于点，连接，因为为矩形，所以为的中点，又为的BD AC O EO ABCD O BD E PD 中点，所以，且平面，平面，所以平面.
//EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC
（2），由，作交于.由题设知16V PA AB AD AB =
=g g V =3
2
AB =AH PB ⊥PB H BC ⊥
平面，所以，故平面，又，所以到平面的距离PAB BC AH ⊥AH ⊥PBC PA AB AH PB ==g A PBC
考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.22．【答案】 【解析】解：（1）
…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=lg（a x﹣b x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12，
∴a﹣b=2，a2﹣b2=12，
解得：a=4，b=2；
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x），
当x∈[1，2]时，4x﹣2x∈[2，12]，
故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，
（3）若函数g（x）=a x的图象与h（x）=b x﹣m的图象恒有两个交点．
则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0，
则t2﹣t=m有两个正解；
则，
解得：m∈（﹣，0）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
24．【答案】
【解析】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．
可得极坐标分别为：，．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，
∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。