2018年秋高中数学课时分层作业5组合与组合数公式新人教A版选修2_3

课时分层作业(五) 组合与组合数公式
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列四个问题属于组合问题的是( )
A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式
D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．]
2．已知平面内A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
【导学号：95032053】
A ．3
B ．20
C ．12
D ．24
B [
C 3
6＝6×5×43×2×1＝20.]
3．若C x
6＝C 2
6，则x ＝( ) A ．2 B ．4 C ．4或2
D ．3
C [由组合数性质知，x ＝2或x ＝6－2＝4.] 4．若A 3
n ＝12C 2
n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4
D ．4
A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2
n ＝12n (n －1)，
所以n (n －1)(n －2)＝12×1
2n (n －1)．
由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]
5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
【导学号：95032054】
A ．36种
B ．48种
C ．96种
D ．192种
C [甲选修2门有C 2
4＝6种选法，乙、丙各有C 3
4＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，
共有6×4×4＝96种选法．]
二、填空题 6．方程：C 2x
4＋C 2x －1
4
＝C 56－C 6
6的解集为________．
{x |x ＝2} [由组合数公式的性质可知，解得x ＝1或x ＝2，代入方程检验得
x ＝2满足方程，所以原方程的解为{x |x ＝2}．]
7．C 0
3＋C 1
4＋C 2
5＋…＋C 18
21的值等于________.
【导学号：95032055】
7 315 [原式＝C 0
4＋C 1
4＋C 2
5＋…＋C 18
21＝C 1
5＋C 2
5＋…＋C 18
21＝C 17
21＋C 18
21＝C 18
22＝C 4
22＝7 315.] 8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 4
10
＝210种分法．]
三、解答题
9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
【导学号：95032056】
[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 3
6＝6×5×43×2×1
＝20个．
10．求式子1C x 5－1C x 6＝7
10C x 7中的x .
[解] 原式可化为：x ！
－x ！5！－x ！－x ！6！＝7·x ！－x ！
10·7！
，∵0≤x ≤5，
∴x 2
－23x ＋42＝0，
∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．
[能力提升练]
一、选择题
1．满足方程C x 2
－x 16＝C 5x －5
16的x 值为( ) A ．1,3,5，－7 B ．1,3 C ．1,3,5
D ．3,5
B [由x 2
－x ＝5x －5或x 2
－x ＝16－(5x －5)，得x ＝1,3,5，－7，只有x ＝1,3时满足组合数的意义．]
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1
台，则不同的取法共有( )
A ．140种
B ．84种
C ．70种
D ．35种
C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 1
4·C 2
5＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 2
4·C 1
5＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]
二、填空题
3．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血
型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种.
【导学号：95032057】
9 [父母应为A ，B 或O ，C 13C 13＝9种．]
4．已知C m －1
n 2＝C m
n 3＝C m ＋1
n
4，则m 与n 的值为________．
14 34 [可得：
三、解答题 5．规定C m
x ＝
x x －
x －m ＋
m ！
，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0
x ＝1，这是组合数
C m
n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．
(1)求C 5
－15的值； (2)组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m
n ；
②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C m
x (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，请说明理由.
【导学号：95032058】
[解] (1)C 5
－15＝－－
－
－－
5！
＝－11 628.
(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时，有意义，但
无意义．
性质②能推广，它的推广形式是
C m x ＋C
m －1x
＝C
m x ＋1，x ∈R ，m 为正整数．
证明：当m ＝1时， 有C 1
x ＋C 0
x ＝x ＋1＝C 1
x ＋1； 当m ≥2时， C m
x ＋C m －1x ＝x x －
x －m ＋
m ！＋
x x －
x －x －m ＋
m －
！
＝x x －x －m ＋m －
！
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －m ＋1m ＋1 ＝
x ＋
x x －
x －m ＋
m ！
＝C m
x ＋1.
综上，性质②的推广得证．。