20201104北京四中初三数学上期中试题

北京四中2020—2021学年度第一学期 初三数学期中试卷 2020.11
班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知
1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。

一、选择题（每题2分，共16分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)2
2-的最小值是 （ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）
A ．2521y x =-+（
） B ．2
5+21y x =+（） C ．2
521y x =--（
） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．已知A （12
-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x-2)2的图象上，则y 1，
y 2，y 3的大小关系为（ ）
A. y 1＜y 2＜y 3
B. y 1＜y 3＜y 2
C. y 3＜y 1＜y 2
D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，
CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，
③FB=FD 中正确的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…2-1
-0123…
y…4-02204-…
下列结论：
①抛物线开口向下；②当−1<x<2时，y>0；
③抛物线的对称轴是直线
1
2
x=；④函数2(0)
y ax bx c a
=++≠的最大值为2.
其中所有正确的结论为( )
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以0)
(3，为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C2)
(0，，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作
PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，
y
PF
PE=
+2
2．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B
的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分
．．图象是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若抛物线26
y x x m
=++与x轴只有一个公共点，则m的值为 . 10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为 .
11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y=x2+bx+c(a≠0)上的两个点，
则b = ．
12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点
P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示， 则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.
解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，
∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________） ∵∠ODB ＝30°，
∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________） ∴BC OB 2
1
=
． ∵OB=2,
∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．
16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①abc ＜0； ②20a b +=； ③4a −2b +c >0； ④若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .
三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.
（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .
18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.
19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.
0m n >>C D
O
A
B
第16题图
20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；
(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．
21. 如图，△ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;
（2）DE 是⊙O 的切线.
22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
x … ... y …
...
23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，
当x <0时函数y =________.
（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．
24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；
（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括
边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．
25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、
C 三点），连结P A 、PB 、PC .
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.
（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.
26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂
直
C A
B
O
平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.
右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”
已知点P（0, 4），Q（a, 0）
（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、
D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.
（2）如图2，a=4√3，
①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取
值范围;
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上
存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.。