中国古代数学成就的文献佐证——《算数书》

中国古代数学成就的文献佐证——《算数书》
作者：贾金平，张晓灵
来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2011年第2期
贾金平1，张晓灵2
（1.大连交通大学信息工程学院，辽宁大连 116052；2.大连市第77中学，辽宁大连116031）
摘要：湖北省江陵张家山出土的《算数书》内容和体例方面都与《九章算术》存在一定程
度的相似性，但是两本著作也存在着一些差异。

《算数书》的出土，相当有利地佐证了中国古
代数学在世界数学史上的地位和作用。

关键词：算数书；九章算术；中国古代数学成就
中图分类号：O11文献标识码：A文章编号：1671—1580（2011）02—0145—02
1983年至1984年，在湖北省江陵张家山一处古墓中出土了一批珍贵的古代竹简。

据考证，此古墓建于汉朝初期，大约公元前187—157年。

这些竹简的内容涉及西汉社会、政治、军事、经济和地理等诸多方面，具有极为重要的史料价值。

其中，一批数学竹简引起考古学家和数学
史学家的极大关注。

这批数学竹简有200支，180余支较完整，10余支已经残破，共计约7000
多字，在一支竹简的背面刻有“筭數书”三个字，这批竹简因为得名《算数书》。

一、《算数书》内容简介
经过考古学家和数学史学家多年的整理，现在已经确定，《算数书》能够识别的标题有69条，如“方田”“少广”“金价”“合分”“约分”“经分”“分乘”“相乘”“增减
分”“贾盐”“息钱”“程未”等等，但未分章或卷。

具体内容可以分为算数和几何两部分。

（一）算术部分
1.整数：提出了整数的十进位值制，但未完整叙述整数四则运算。

例如竹签上有这一段内容：“一乘十，十也；十乘万,十万也；千乘万，千万。

一乘十万，十万也；十乘十万,百万；半乘千，五百。

一乘百万，百万；十乘百万，千万。

半乘万，五千。

十乘千，万也；百乘万，百万。

半乘百，五十。

”这段内容表述的是关于10的乘方的乘法。

2.分数：全面介绍了分数的性质及运算法则，包括通分、约分、分数的扩大和缩小以及四
则运算。

例如竹签上有这一段关于分数乘法表的内容：“少半乘少半，九分一也。

半步乘半步，四
分一；半步乘少半步，六分一也。

少半乘大半，九分二也。

四分乘四分，十六分一；四分乘五分，廿分一；五分乘五分，廿五分一；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六
分乘七分，卌二分也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。

”
用现代数学符号可以表示为：
这类关于10的乘方的和分数的乘法算表，在中国传统数学的其他著作中没有见过。

3.比例：包括正比例、反比例、分配比例、连比例和复比例等。

4.盈不足：盈不足算法以及应用。

例如“女织邻里有女恶自善也织，曰自再，五日织五尺。

问始织日及其次各几何？曰：始
织一寸六十二分寸卅八，次三寸六十二分寸十四，次六寸六十二分寸廿八，次尺二寸六十二分
寸五十六，次二尺五寸六十二分寸五十。

术曰：直二、直四、直八、直十六、直三十二，并，
以为法。

以五尺偏乘之,各自为实。

实如法得尺。

不盈尺者，十之，如一寸。

不盈寸者，以法命分。

”
这段内容既提出了一个数学问题，接着便给出“曰”即答案，最后是“术曰”即解题方法。

这也是《算数书》的一个显著体例结构：问——答——术。

（二）几何部分
（1）面积：土地面积的计算。

（2）体积：介绍六种不同形状几何体体积的求解方法及其公式。

例如有这样一道求圆台体积的问题，“睘（圜）亭圜亭上周三丈，（大）［下］周四丈，
高二丈，積二千五十五尺卅六分尺廿。

術曰：下周乘上周，周自乘，皆幷，以高乘之，卅六成［一］。

今二千五十五尺［卅六］分［尺］廿。

”
二、《算数书》与《九章算术》的对比分析
《九章算术》被认为是中国古代数学成就的代表作，成书大约在西汉时期（公元1世纪）。

数学史学家一致认为，中国古代数学的成就主要是建立在对《九章算术》的继承和发展上的。

《九章算术》是中国和东方古代数学的代表作，其中的分数四则运算、比例、解勾股形的方法
和多面体体积公式、开平方和开立方的方法、线性方程组解法等等成就居于当时世界的领先地位，有的超前其他文化传统几百年甚至上千年。

（一）两本著作的相似处
《算数书》和《九章算术》有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。

例如，《九章算术》有一道题目与前面《算数书》“女织”题极为相似：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。

问日织几何？答曰：初日织一寸三十一分寸之十九；次日织三寸三十一
分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺
五寸三十一分寸之二十五。

术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。

以五尺乘未并者，各自为实。

实如法得一尺。

”
又比如，《九章算术》商功章有这样一道题目：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。

問積幾何？荅曰：五百二十七尺九分尺之七。

術曰：上、下周相乘，又各自乘，幷之，以
高乘之，三十六而一。

”这道题目和前面《算数书》的题目也是极为相似的。

这两个问题不一样，方法的表述也有细微差別，但是问题的实质是一样的，甚至所使用数
字都是一样的。

两本数学著作中类似的例子还有很多。

总之，内容和体例的相似，充分说明了《算数书》与《九章算术》之间一定存在着某种联系。

（二）两本著作的差异
《算数书》并未分章节，《九章算术》详细地分为了九个章节（包括方田、粟米、衰分、
少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股），后者更具有系统性。

因此，有的数学史学家认为《算数书》是《九章算术》的母本，张苍等人编撰的《九章算术》是在《算数书》的基础上展
开的。

两本著作文字表述方面也有一定程度的差别，《算数书》中只有“少广”的题目与《九章
算术》“少广术”的前9个例题的数字相同。

此外，“女织”题使用的数字和方法都与《九章
算术》衰分章“女子善织”题相同，然而答案的约简程度不同。

当然，这也有可能是经过几个
世纪的流传，宋朝时期版刻的《九章算术》较其最初西汉时期的刻板有一些变化。

这种可能性
是存在的。

三、《算数书》的历史地位
在西方国家有相当长一段时期，关于中国古代数学的原始文献以及二手文献非常的稀缺。

西方人很早就了解到印度和阿拉伯的古代数学文献。

巴比伦的泥板书、埃及的纸草书和印度的
草片书，这些古代文献资料的出土，相当有力地佐证了古巴比伦、埃及和印度的古代数学成就。

西方学者史学研究崇尚史料证据。

所以，他们承认印度、巴比伦、埃及和阿拉伯等国家和地区
的数学成就，但是怀疑中国古代数学成就。

《九章算术》流传下来的最古老的版本是宋朝时期的刻本。

因此，一些西方学者质疑《九
章算术》的成书时间。

此外，《九章算术》与印度、阿拉伯等国家早期著作中的一些内容相似，西方学者认为是后者影响了《九章算术》，也就是说，中国古代数学受到印度、阿拉伯等国家
的早期数学的影响。

由于缺少秦汉时期及更早时期数学文献的出土和发掘，使得中国古代数学成就在一定程度
上缺少最有说服力的文献佐证。

《算数书》的出土，相当有利地佐证了中国古代数学在世界数
学史上的地位和作用，彻底化解了西方人的上述误解。

此外，《算数书》也纠正了数学史学家过去的一些观点。

比如，有人认为，分数除法的颠
倒相乘法是3世纪刘徽创造的，在刘徽之前，人们计算分数除法时，一直时先将分数通分，然
后再分子相除。

对此，《算数书》采用的是颠倒相乘法，与今天的方法相同。

［参考文献］
［1］徐品方.我国最早的数学著作《算数书》［J］.中学数学杂志(初中),2005(30). ［2］郭书春.《筭数书》校勘［J］.中国科技史料,2001(3).
［3］郭书春.关于《筭數书》与《九章筭术》的关系［J］.曲阜师范大学学报,2008(3). ［4］汪晓勤.西方学者对中国数学的怀疑和偏见［J］.自然辩证法研究,2000(2).。