(人教版)宁波市八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方
便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取
9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A ．301050
B ．103020
C ．305010
D ．501030 2．计算下列各式，结果为5x 的是（ ）
A ．()32x
B ．102x x ÷
C ．23x x ⋅
D ．6x x - 3．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A ．都是因式分解
B ．都是乘法运算
C ．①是因式分解，②是乘法运算
D ．①是乘法运算，②是因式分解 4．已知： 13m m +
=， 则： 331m m +的值为( ) A ．15 B ．18 C ．21 D ．9
5．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）
A ．1,4m n ==
B ．2,5m n ==
C ．5,3m n ==
D ．2,2m n == 6．将11n n x x +--因式分解，结果正确的是（ ）
A ．()121n x
x -- B ．()11n x x -- C ．()1n x x x --
D ．()()111n x x x -+- 7．已知3a b -=、4b c -=、5c d -=，则()()a c d b --的值为（ ） A ．7 B ．9 C ．-63
D ．12 8．若53x =，52y =，则235-=x y （ ） A ．34 B ．1 C ．23 D ．98
9．记A n ＝（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣21n
），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ）
A ．A 5＜A 6
B ．A 52＞A 4A 6
C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34
D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜10082015
10．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ） A ．21 B ．23 C ．25
D ．29 11．已知552a =，443b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >> 12．下列计算正确的是（ ） A ．(ab 3)2＝a 2b 6 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－2b 2 D ．5a －2a ＝3
二、填空题
13．如果210x x m -+是一个完全平方式，那么m 的值是__________．
14．若()()2
53x x x bx c +-=++，则b+c=______． 15．计算：2221111112310⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________ 16．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知
}a =}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则
a+b =_____．
17．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；
（1）将数对放入其中，最后得到的数________；
（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）
18．对于2(34)x y --的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式()2222a b a ab b -=-+；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即
(34)(34)x y x y ----；③小懿说可以用公式222()2a b a ab b +=++但要看准谁是a 谁是b ；④小王说口算就是22916x y +；⑤小亮说可以转化计算2
(34)x y +，你认为谁的说法正确请写出序号____．
19．若代数式23y y +-的值为0，则代数式3242020y y ++的值为___________． 20．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________． 三、解答题
21．先化简，再求值：2(21)(21)(23)+---a a a ，其中112a =-． 22．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =
，试求x y +的值； （3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．
23．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如22926a b a b --+，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
()()2222926926a b a b a b a b --+=---
()()()3323a b a b a b =+---
()()332a b a b =-+-．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：22222x xy y x y -+-+；
（2）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足220a bc b ac +--=，判断ABC 的形状并说明理由．
24．（1）因式分解：()222
224x y x y +- （2）计算：()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦
25．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出()2a b +、()2
a b -、ab 之间的等量关系是______；
（2）拓展应用：若()()22
202020217m m -+-=，求()()20202021m m --的值． 26．先化简，再求值：[（2a ﹣1）2﹣（2a+1）（2a ﹣1）+（2a ﹣1）（a+2）]÷2a ，其中a ＝12
．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
【详解】
x 3−xy 2＝x （x 2−y 2）＝x （x ＋y ）（x−y ），
当x ＝30，y ＝20时，x ＝30，x ＋y ＝50，x−y ＝10，
组成密码的数字应包括30，50，10，
所以组成的密码不可能是103020．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
分别计算每个选项然后进行判断即可.
【详解】
A 、()3
26x x =，选项错误； B 、1028x x x =÷，选项错误；
C 、23
5x x x ，选项正确； D 、6x x -不能得到5x ，选项错误.
故选：C
【点睛】
此题考查同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 3．D
解析：D
根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】
解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；
②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
4．B
解析：B
【分析】 把13m m +=两边平方得出221m m +的值，再把331m m
+变形代入即可得出答案 【详解】 解：∵13m m
+=， ∴219⎛⎫+= ⎪⎝
⎭m m ， ∴221=7+
m m ∴()3232111=m+m 1+=371=18m m ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
m m 故选：B
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键
5．D
解析：D
【分析】
根据题意逐一计算即可判断．
【详解】
A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；
B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；
C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；
D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意；
故选：D ．
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
6．D
解析：D
【分析】
先提公因式x n-1，再用平方差公式进行分解即可.
【详解】
x n+1−x n-1=x n-1(x 2-1)=x n−1(x+1)(x−1)，
故选：D
【点睛】
此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键. 7．C
解析：C
【分析】
由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，然后整体代入求解即可．
【详解】
解：由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，
∴()()()7963a c d b --=⨯-=-；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查求代数式的值，关键是根据题意利用整体思想进行求解．
8．D
解析：D
【分析】
根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算进行计算．
【详解】
解：()()23232323955555328
x y x y x y -=÷=÷=÷=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算． 9．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可．
解：A 、A 5＝22221111631111==2345105⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
--- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A 6＝231715612
⎛
⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 37512
> ∴A 5＞A 6，
此选项不符合题意；
B 、A 4＝2221115111=2348⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴A 52＝
925，A 4A 6＝5735=81290⨯， ∵9352590
<， ∴A 52＜A 4A 6，
此选项不符合题意；
C 、∵A 2＝2131=24-
， 且345674681012
<<<<<， ∴n ≥2时，恒有A n ≤
34
， 此选项不符合题意； D 、当m ＝2015时，A m ＝
2015+120161008==2201540302015⨯， 当n ＞m 时，A n ＜10082015
， ∴存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜
10082015， 此选项符合题意；
故选择：D ．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式得()2
222a b a b ab +=+-，再整体代入即可求值．
解：∵()2
222a b a b ab +=++，
∴()2222a b a b ab +=+-， ∵5a b +=，2ab =-，
∴原式()2
52225429=-⨯-=+=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算．
11．B
解析：B
【分析】
由552a =，443b =，334c =，比较543
2,3,4的大小即可．
【详解】
解：∵555112=(2)a =，444113(3)b == ，333114(4)c == ，435342>> ， ∴411311511(3)(4)(2)>>，即b c a >>，
故选B ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
12．A
解析：A
【分析】
根据整式的积的乘方计算法则，同底数幂相乘法则，平方差公式，合并同类项依次进行计算并判断．
【详解】
A 、(ab 3)2＝a 2b 6，故正确；
B 、a 2·a 3＝a 5，故错误；
C 、(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，故错误；
D 、5a －2a=3a ，故错误；
故选：A ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的积的乘方计算法则，同底数幂相乘法则，平方差公式，合并同类项是解题的关键．
二、填空题
13．25【分析】利用完全平方公式的结构特征即可求出m 的值【详解】解：
∵x2-10x+m 是一个完全平方式∴m==25故答案为：25【点睛】此题考查了完全平方式熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
解析：25
【分析】
利用完全平方公式的结构特征，即可求出m 的值．
【详解】
解：∵x 2-10x +m 是一个完全平方式，
∴m=210(
)2
-=25． 故答案为：25．
【点睛】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．-13【分析】先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出bc 的值最后计算出结果即可【详解】解：∵∴∴b=2c=-15∴b+c=2-15=-13故答案为：-13【点睛】此题主要考查了整式的乘法熟
解析：-13
【分析】
先利用多项式的乘法展开，再根据对应项系数相等确定出b ，c 的值，最后计算出结果即可．
【详解】
解：∵()()2
53x x x bx c +-=++ ∴22+215x x x bx c -=++
∴b=2，c=-15
∴b+c=2-15=-13
故答案为：-13．
【点睛】
此题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
15．【分析】运用平方差公式进行计算即可【详解】解：====故答案为：【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键 解析：1120
【分析】
运用平方差公式进行计算即可．
【详解】 解：2221111112310⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
111111 1+11111 22331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1324911 22331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=111 210⨯
=11 20
．
故答案为：11 20
．
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键．
16．9【分析】根据新定义得出ab的值再求和即可【详解】解：
∵min{a}=min{b}=b∴＜ab＜又∵a和b为两个连续正整数∴a=5b=4则a+b=9故答案为：9【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数
解析：9
【分析】
根据新定义得出a，b的值，再求和即可．
【详解】
解：∵，b}=b，
∴
a，b
又∵a和b为两个连续正整数，
∴a=5，b=4，
则a+b=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根和实数的大小比较，正确得出a，b的值是解题关键．17．-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m与n的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时
解析：-1 -2 -2m2+5m-2
【分析】
根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)
m放入其中，得到数n，计算出m与n的关系，再计算数对(,)
n m，即可得到结果．
【详解】
解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1； 故答案为：-1；
（1）将数对3-1-2）＝-2； 故答案为：-2；
（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ， 则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．
故答案为：-2m 2+5m-2．
【点睛】
此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
18．①②③⑤【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可【详解】①正确；②正确；③正确；④错误；⑤正确；故答案为：①②③⑤
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算熟练掌握运算法则是解答
解析：①②③⑤
【分析】
根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可.
【详解】
①22222(34)(3)2(3)4(4)92416x y x x y y x xy y --=--⋅-⋅+=++，正确；
②
22222(34)(34)(34)(3)3443(4)92416x y x y x y x x y y x y x xy y --=----=-+⋅+⋅+=++，正确；
③22222(34)(3)2(3)(4)(4)92416x y x x y y x xy y --=-+⋅-⋅-+-=++，正确； ④错误；
⑤222222(34)(34)(3)234(4)92416x y x y x x y y x xy y --=+=+⋅⋅+=++，正确； 故答案为：①②③⑤
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键. 19．2029【分析】由题意得将原式变形成整体代入得再一次整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案为：【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解
解析：2029
【分析】
由题意得23y y +=，将原式变形成()22
32020y y y y +++，整体代入得2332020y y ++，再一次整体代入即可求出结果．
【详解】
解：∵23y y +-，
∴23y y +=，
原式()22
32020y y y y =+++ 2332020y y =++
()232020y y =++
92020=+
2029=．
故答案为：2029．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解．
20．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m 的值在将m 代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出 解析：1
【分析】
根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在将m 代入代数式计算即可．
【详解】
原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．
根据题意可知210m -=且10m +≠，
所以1m =． 所以2008200811111m m --=--=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．
三、解答题
21．12a -10，－11
【分析】
先按乘法公式进行化简，再代入求值即可．
【详解】
解：原式=2241(4129)---+a a a
=22414129--+-a a a
=12a -10
当112
a =-时， 原式=112()1012⨯-
- =110--
=11-．
【点睛】
本题考查了运用乘法公式进行化简整式并求值，解题关键是熟练运用乘法公式进行化简，注意符号的变化．
22．（1）()()224a b a b ab +--=；（2）6x y +=±；（3）-15．
【分析】
（1）由长方形的面积公式解得图1的面积，图2中白色部分面积为大正方形面积与小正方形面积的差，又由图1与图2中的空白面积相等，据此列式解题；
（2）由（1）中结论可得()()224x y x y xy +--=，将5x y -=，114
xy =
整体代入，结合平方根性质解题；
（3）将()2019m -与()2021m -视为一个整体，结合（1）中公式，及平方的性质解题即可．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为()()
()()2222a b b a a b a b +--=+-- ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等 ∴()()224a b a b ab +--=
（2）根据（1）中的结论，可知()()224x y x y xy +--=
∵5x y -=，114xy =
∴()2211544x y +-=⨯
∴()2
36x y += ∴6x y +=±
（3）∵()()201920212m m -+-=-
∴()()2
201920214m m -+-=⎡⎤⎣⎦ ∴()()()()22
201922019202120214m m m m -+--+-= ∵()()22
2019202134m m -+-=
∴()()22019202143430m m --=-=-
∴()()2019202115m m --=-．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）()()2x y x y ---；（2）ABC 为等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）前三项符合完全平方公式，最后一项用提公因式法进行分解因式，最后再提公因式（x-y ）即可．
（2）通过因式分解22a bc b ac +--()()0a b a b c =-+-=，因为0a b c +->，所以得0a b -=，则a b =，那么ABC 为等腰三角形．
【详解】
解：（1）原式()()22222x xy y x y =-+--
()()2
2x y x y =--- ()()2x y x y =---．
（2）结论：ABC 为等腰三角形
理由：∵22a bc b ac +--
()()22a b ac bc =---
()()()a b a b c a b =+---
()()a b a b c =-+-
0=
又∵0a b c +->
∴0a b -=
∴a b =
∴ABC 为等腰三角形．
【点睛】 此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
24．（1）()
()22x y x y -+；（2）9a
【分析】
（1）先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方公式进行因式分解；
（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．
【详解】
解：（1）()222
224x y x y +- =()()222222x y xy
x y xy +-++ =()()22x y x y -+
（2）()()()2
33323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦
=()
222296923a ab b b a a b ⎡⎤++--÷-⎣⎦ =2222(96+9)23a ab b b a a b ++-÷-
=2(186)23a ab a b +÷-
=933a b b +-
=9a
【点睛】
本题考查因式分解和整式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
25．（1）()()224a b a b ab +--=；（2）3-．
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a+b ）2-（b-a ）2=（a+b ）2-（a-b ）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）令2020m a -=，2021m b -=，则1a b +=-，227a b +=，根据()2222ab b a b a -=++求解
【详解】 解：（1）()()224a b a b ab +--=
（2）令2020m a -=，2021m b -=，
则1a b +=-，227a b +=
由()222
2ab b a b a -=++
∴()2127ab --= ∴3ab =-
即()()202020213m m --=-．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解决此类题目的关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
26．a ﹣12
，0 【分析】
先根据完全平方公式和多项式乘以多项式算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【详解】
解：[（2a﹣1）2﹣（2a+1）（2a﹣1）+（2a﹣1）（a+2）]÷2a ＝[4a2﹣4a+1﹣4a2+1+2a2+4a﹣a﹣2]÷2a
＝[2a2﹣a]÷2a
＝a﹣1
2
，
当a＝1
2
时，原式＝0．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．。