资料：华工大新生入学考试试卷与解答2009

华南理工大学2009级新生入学数学试卷
2009.9.9晚上
一、填空题（每题4分，共40分） 1、92
91除以100的余数是81
2、函数()sin cos sin cos f x x x x x =++的最大值为
1
22
+3、设()()2212
log 21x x X
f x a ab b ⎡⎤=+-+⎣⎦
（其中0a b >>），则使的取值范围是
)
log 21a
b
x >
4、学校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学必须选修4门。

问共有75种不同的选修方案（用数值作答）
5、如图（略），在ABC ∆中，2,1,120,AB AC BAC D ==∠=是边BC 上的一点，且
2DC BD =，则AD BC ⋅=83
-
6、设12,z z 都是复数，且12123,5,7z z z z ==+=，则3
21arg z z ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是π
7、某公司用60万元资金计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙的
2
3
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元。

对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙甲每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元
8、设一元二次方程2
0x bx c ++=，其中系数,b c 分别是将以匀称色子接连投掷两次先后出现的点数，则方程有重根的概率为
118
9、已知六棱锥的高为h ，底面积是全面积S 的四分之一，则S 与h 的函数关系式
()S h =23h
10、设AB 是抛物线2
y x =上长为2的动弦，则线段AB 中点M 的轨迹方程是
()()2
2
411x y y
-+=
二、 解答题 （每题10分，共60分）
11、设函数()2sin 2cos 2f x a x x a =+--的最大值为m 。

试问：随a 的变化，m 作怎样的变化？在以a 为横坐标，m 为纵坐标的直觉坐标系中画出反映这种变化的图像
解 设cos x t =，则()2
22
1y at t t =-+-≤
当0a =时，()22
1y t t
=-≤，则max 220m y ==-=
当0a ≠时，有()2
11
21y a t t a a
⎛⎫=--+-≤ ⎪⎝⎭，则
当101a <≤，即11,a t a >=时，max 12m y a
==- 当
1
1a
>，即01,1a t <<=时，max m y a ==- 当0a <，即01,1a t <<=时，max m y a ==-
故,112,1a a m a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ （图略）
12 解关于实数x 221ax a x ->-。

其中a 是大于零的常数。

解 同解不等式组为：()22
10
21x ax a x -≥⎧⎪⎨->-⎪⎩或21020x ax a -<⎧⎨-≥⎩ 因为0a >，可化简为22
12(1)10x x a x a ≤⎧⎨-+++<⎩或1
2x a x >⎧⎪
⎨≥⎪⎩ 当02a <≤时1
1212x a a x a a
≤⎧⎪⎨+-<++⎪⎩1x >
当2a >时1
11212x a a x a a
≤⎧⎪⎨
<+<<++⎪⎩
2
a
x ≥
综上所述，当02a <≤时解集为{}
12x x a a >+，当2a >时解集为2a x x ⎧⎫≥
⎨⎬⎩⎭
13 正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是的中点AB 、AD ，作GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点到平面的距离。

解 如图所示（略），连接EG 、FG 、EF 、AC 、BD ，设EF 、BD 分别交AC 于H 、O 。

由题设可知：EF//BD, H 为AO 的中点，BD//平面EFG , 求BD 与平面EFG 的距离即可
,BD AC EF HC ⊥∴⊥，又GC ABCD ⊥平面，GC EF ∴⊥
可知EF HCG ⊥平面，从而平面EFG HCG ⊥平面，HG 是两垂直平面的交线 作OK HG ⊥交于点K, OK EFG ⊥平面，OK 的长即为所求的距离 由HKO
HGC ∆∆可知：222211
1122HO GC OK HG HC GC
⋅=
===
+ 14已知直线y x m =+交曲线222410x y y ++-=于,A B 两点，P 是这直线上的点，且
2PA PB ⋅=。

求当m 变化时，点P 的轨迹方程，并指出它是什么图形。

解 由22
2410
y x m
x y y =+⎧⎨
++-=⎩消去y 得方程()223412410x m x m m ++++-=
方程要有两个不等的实根，有判别式0∆>可得232232
22
m y x ---+<=-<
该方程的两根是点A 、B 的横坐标，设为,A B x x 设(),P x y 由已知条件，有22122
A B x x x x PA -⋅-=
= 即()2
1A B A B x x x x x x -++=
利用韦达定理，上式可写为()22
4241
1133
m m x m x +-+++=
将y x m =+代入上式消去m ，可得22
2413x y y ++-=
化简得222440x y y ++-=及22
2420x y y +++=
即()2
21163
y x ++=及222(1)0x y ++= 从而，当m 变化时，点P 的轨迹为椭圆()2
21163
y x ++=在两直线
232232
22
y x y x ---+-=
-=之间的部分，及点()0,1-。

5、设数列{}n x 满足()12211,2,,1,2,3,n n n x x x x x n ++===⋅=。

（1）求数列{}n x 的通项；（2）求lim n n x →∞
解 由()211ln ln ln 2n n n x x x ++=
+，令ln n n y x =，则有()211
2
n n n y y y ++=+
将上式变形转化为一阶递推：()2111
2
n n n n y y y y +++-=-
- 依次有()()2
21121111ln 2222n
n
n n n n y y y y y y ++-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=--=
=--=- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
故1
2
111121ln 21ln 21ln 222232n
n
n n n y y +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫=+-=
=+-++-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
从而()12113222
1,2,3,n n x n +⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
+==，23
lim 2n n x →∞
=
6、在ABC ∆中，已知2
222sin sin sin cos 2222
A B C B
++=。

证明：（1）tan ,tan ,tan 262A C π成等比数列；（2）cot ,cot ,cot 222
A B C
成等比数列
证 （1）在ABC ∆中，B A C π=--，可得sin cos 22
B A C
+=
由已知条件得2222sin
sin cos sin ,2222
A C
B B +=- 22cos cos 4sin ,2cos cos 4cos ,2222
B A
C A C A C
A C +-++==
从而cos 2cos 22
A C A C
-+=， 即cos
cos sin sin 2cos cos sin sin 22222222A C A C A C A C ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭， 3sin
sin cos cos 2222A C A C =，因此21tan tan tan 2236A C π== 故，tan ,tan ,tan 262
A C
π成等比数列；
（2）222B A C π+=-，tan tan 322cot tan tan tan 222221tan tan
22A C B A C A C A C ++⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭- 31cot
tan tan cot cot cot cot 222222222B A C A C A C ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因此cot
,cot ,cot 222
A B C
成等比数列。