甘肃省兰州第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理

甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题
理
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时
间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．下列命题中,正确命题的个数为( ) ①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．命题“**
,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( )
A ．**
,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B ．**00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > C ．**00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D ．**
,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >
3．抛物线y ＝4x 2
的焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．1
C ．14
D ．18
4．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x .若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(,0)(1,)-∞+∞U D ．(,0][1,)-∞+∞U
5．若R k ∈，则方程12
322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )
A ．23-<<-k
B ．3-<k
C ．3-<k 或2->k
D ．2->k
6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )
A ．x 212＋y 2
20＝1
B ．x 28＋y 2
12＝1
C ．x 212＋y 2
8＝1
D ．x 24＋y 2
12＝1
7．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－
21＜x ＜3 B ．－2
1
＜x ＜0 C ．－3＜x ＜
2
1
D ．－1＜x ＜6 8．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±23
3x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A ．8
B ．10
C ．4＋37
D ．3＋317
9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅u u u r u u u r
=( )
A ．0
B ．2
1
C ．4
3
-
D ．2
1-
10．不等式
1
11
x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(2,1]-- B.[2,1]-- C ．(][
),21,-∞--+∞U D ．(,2)(1,)-∞--+∞U
11．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42
=相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若 ,则||k ＝( )
A ．22
B ．
3
3
C ．3
D ．
4
2 12．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象
限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，π6，则该双曲线的离心率的取
值范围是( ) A ．[2，2＋6] B ．[2，3＋1] C ．[2，2＋6]
D ．[2，3＋1]
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ．
FB
AF 3=
14． 若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 2
8＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →
的最小值为________．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的1
3，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的1
6，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x ．
16．过双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为
第一象限的点），延长FP 交抛物线22y px =（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2
OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率的平方为 ．
三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17．（本小题满分10分）
已知命题p ： 函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ： 对函数y =-4x 2+4(2-
m )x -1， y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1 的中点，AA 1
＝AC ＝CB ＝2
2AB =2．
(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．
19．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)若平行于OA (O 为坐标原点)的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，且|MN |=35，求∆AMN 的面积．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面
PAM 所成角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C 1的方程为x 2
4＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1，
0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M (1，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值．
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题
高二数学（理） 命题人: 审题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时
间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．下列命题中,正确命题的个数为( ) ①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 C
2．命题“**
,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( )
A ．**
,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B ．**00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > C ．**00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D ．**
,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >
答案 B
3．抛物线y ＝4x 2
的焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．1
C ．14
D ．18
解析 由y ＝4x 2得x 2
＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为1
8. 答案 D
4．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x .若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(,0)(1,)-∞+∞U D ．(,0][1,)-∞+∞U 答案 A
5．若R k ∈，则方程12
322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )
A ．23-<<-k
B ．3-<k
C ．3-<k 或2->k
D ．2->k 答案 A
6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )
A ．x 212＋y 2
20＝1 B ．x 28＋y 212＝1 C ．x 2
12＋y 2
8＝1
D ．x 2
4＋y 2
12＝1
答案 B
7．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－
21＜x ＜3 B ．－2
1
＜x ＜0 C ．－3＜x ＜
2
1
D ．－1＜x ＜6 答案 D
8．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±23
3x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10
C ．4＋37
D ．3＋317
答案 B
9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅u u u r u u u r
=( )
A ．0
B ．2
1
C ．4
3
-
D ．2
1-
答案 D
10．不等式
1
11
x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(2,1]-- B.[2,1]-- C ．(][
),21,-∞--+∞U D ．(,2)(1,)-∞--+∞U 答案 A
11．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42
=相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若 ,则||k ＝( )
A ．22
B ．
3
3
C ．3
D ．
4
2 答案 C
12．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象
限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，π6，则该双曲线的离心率的取
值范围是( ) A ．[2，2＋6] B ．[2，3＋1] C ．[2，2＋6] D ．[2，3＋1]
答案 D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ． 答案
14． 若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 2
8＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →
的最小值为________． 答案 6
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的1
3，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的1
6，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x ． 答案 1
72
16．过双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为
第一象限的点），延长FP 交抛物线2
2y px =（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有
3=
一个共同的焦点，若1()2
OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率的平方为 ．
答案 251
e +=
三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17．（本小题满分10分）
已知命题p ： 函数y =x 2
+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ： 对函数y =-4x 2
+4(2-
m )x -1， y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．
解：若函数y =x 2
+mx +1在（-1，+∞）上单调递增，则-2
m
≤-2， ∴m ≥2，即p ：
m ≥2 ……………………………2分
若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0， 解
得
1
≤
m ≤3，即q ：1≤m ≤
3 ……………………………5分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假
当p 真q 假时，由2
13m m m ≥⎧⎨<>⎩或 解得：m >3 ……………………………7分
当p 假q 真时，由2
13
m m <⎧⎨≤≤⎩ 解得：1≤m <2 ……………………………9分
综上，m 的取值范围是{m |m >3或1≤m <2} ………………………… 10分
18．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1 的中点，AA 1
＝AC ＝CB ＝2
2AB =2．
(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的余弦值．
解析：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . .............................4分
(2)由AC ＝CB ＝2
2AB ，得AC ⊥BC
以C 为坐标原点，CA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz. 设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，1(2,0,2)A ，CD →＝(1,1,0)，CE →
＝(0,2,1)，
1(2,0,2)CA =u u u r
．
设(,,)n x y z =r
是平面A 1CD 的法向量，
则
{
00
221=+=⋅=+=⋅y x z x
可取)1,1,1(--=n ．
同理，设是平面A 1CE 的法向量，则
{
1=⋅=⋅可取)2,1,2(-=．
从而3
3,cos =
>=
<m
n . 即二面角D －A 1C －E 的余弦值为3
3
.................................12分 19．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)若平行于OA (O 为坐标原点)的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，且|MN |5，求∆AMN 的面积．
解：(1)将(1，－2)代入y 2
＝2px ，得(－2)2
＝2p ·1，所以p ＝2.
故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………4分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋t y 2＝4x
得y 2＋2y －2t ＝0.
∴y 1+y 2=-2, y 1y 2=-2t , ……………………………6分
∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－1
2. 由|MN |=1
1482
t +
+=35得t =4， ……………………………10分 又A 到直线l 的距离为d =45
……………………………11分
∴∆AMN 的面积为S =1
2
|MN |﹒d=6. ……………………………12分
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝2
2AC ， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2，
所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝1
2AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .
由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . .............................6分
(2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .
由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →
＝(0，2，23).取平面PAC 的一个法向量OB →
＝(2，0，0).
设M (a ，2－a ，0)(0<a ≤2)，则AM →＝(0，4－a ，0).
设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).
由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得
⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，
所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2.
由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32，
所以23|a －4|
23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝3
2，
解得a ＝－4(舍去)，a ＝4
3，
所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.
又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34. 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3
4..............................12分
21．（本小题满分12分） 已知椭圆C 1的方程为x 2
4＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O
为原点)，求k 的取值范围． 解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.
故C 2的方程为x 23－y 2＝1. ..............................4分
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2＝1，
得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
⎩⎨⎧1－3k 2
≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，
∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)
＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.
又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2
＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②
由①②得1
3＜k 2＜1，
故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1...............................12分
22．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M (1，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值．
(1)解 依题意，得c ＝2，
所以a 2－b 2＝2，
由点M (1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝|OM |＝1， 所以a ＝3，
故椭圆C 的方程为x 2
3＋y 2＝1. ..............................4分 (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23
＋y 2＝1，
解得x ＝1，y ＝±6
3.
设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－63，
则k 1＋k 2＝2－632＋2＋6
3
2＝2为定值.
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 将y ＝k (x －1)代入x 2
3＋y 2＝1化简整理，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－3
3k 2＋1.
又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，
所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 2
3－x 2
＝（2－y 1）（3－x 2）＋（2－y 2）（3－x 1）
（3－x 1）（3－x 2）
＝[2－k （x 1－1）]（3－x 2）＋[2－k （x 2－1）]（3－x 1）9－3（x 1＋x 2）＋x 1x 2
＝12－2（x 1＋x 2）＋k [2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋6]
9－3（x 1＋x 2）＋x 1x 2
＝12－2×6k 23k 2＋1＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3k 2－33k 2＋1
－4×6k 23k 2＋1＋69－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－3
3k 2＋1 ＝12（2k 2＋1）
6（2k 2＋1）＝2.
综上，得k 1＋k 2＝2为定值. ..............................12分。