费马小定理推论证明

费马小定理推论证明
费马小定理是一个非常有用的定理，它说的是如果p是一个素数，a是一个整数且不是p的倍数，那么a的p次方减去a一定是p的倍数。

这个定理可以用来证明一些其他的数论结论。

首先，我们根据费马小定理知道，如果p是一个素数，a是一个整数且不是p的倍数，那么a的p次方减去a一定是p的倍数。

我们可以表示为：
a^p ≡ a (mod p)
我们可以用数学归纳法来证明这个定理。

首先，当p=2时，我们可以得到：
a^2 ≡ a (mod 2)
因此，当a是偶数时，a^2减去a一定是2的倍数，当a是奇数时，a^2减去a一定是2的倍数。

现在假设对于任意的素数p和整数a不是p的倍数，a的p次方减去a一定是p的倍数。

我们要证明对于素数p+1和整数a 不是p+1的倍数，a的p+1次方减去a一定是p+1的倍数。

根据费马小定理，我们有：
a^p ≡ a (mod p)
然后我们对等式两边同时乘以a，得到：
a^p * a ≡ a * a (mod p)
即，
a^(p+1) ≡ a^2 (mod p)
因为p+1是一个偶数，我们可以将p+1表示为2k，其中k是一个整数。

所以我们有：
a^(2k) ≡ a^2 (mod p)
现在我们要证明a^2 减去a是p+1的倍数。

我们可以将a^2减去a表示为：
a^2 - a = a * (a-1)
根据归纳假设，我们可以将a替换为a^p，得到：
a * (a-1) = a^p * (a^p - 1)
根据费马小定理，我们可以得到a^p ≡ a (mod p)，所以：
a * (a-1) = a * (a^p - 1)
然后我们将上述等式两边同时对p取模，得到：
a * (a-1) ≡ a * (a^p - 1) (mod p)
因为a和p的最大公约数是1，所以我们可以将等式两边同时
除以a，得到：
a-1 ≡ a^p - 1 (mod p)
然后我们再将上述等式两边同时对p取模，得到：
a-1 ≡ a^p - 1 ≡ a (mod p)
所以我们可以得到：
a^p ≡ a (mod p)
这就证明了费马小定理对于任意的素数p+1和整数a不是p+1
的倍数，a^p+1减去a一定是p+1的倍数。

通过数学归纳法的证明，我们可以得出结论：根据费马小定理，如果p是素数，a是整数且不是p的倍数，那么a的p次方减
去a一定是p的倍数。